1.以知M是抛物线C：x^2=4y上的动点,过M作y轴的垂线MN,垂足为N,记线段MN的中点为E.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/28 20:43:31

1.以知M是抛物线C：x^2=4y上的动点,过M作y轴的垂线MN,垂足为N,记线段MN的中点为E.
(1)求E的轨迹方程
(2)若点P是曲线E上的任意一点,求点P到直线y=x-2距离的最小值,并求出此时点P的坐标.
2.以知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2倍根号2,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA乘OB的最小值.
3.以知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被x轴截得的弦长为4倍根号2,求圆C的方程.

1,（1）设M点坐标为（x,y）,由题可知,线段MN的中点为E坐标为（x/2,y）.
因为M在抛物线C：x^2=4y上,即 x^2=4y,（x/2）^2=y.
所以E的轨迹方程为：x^2=y .
（2）设点P坐标为（x,y）,则：x^2=y .
点P到直线y=x-2距离为：d=|x-y-2|/根号2=|-x^2+x-2|/根号2=|-(x-1/2)^2-7/4|/根号2,
而 -(x-1/2)^2-7/4 在x=1/2时,有最大值 -7/4,
所以当x=1/2时,|-(x-1/2)^2-7/4|有最小值 7/4,
所以点P到直线y=x-2距离的最小值为：7/4/根号2=7/8*根号2.
此时点P的坐标为（1/2,1/4）.
2,（1）由题可知,动点P的轨迹是双曲线,且焦点在x轴上.
设W的方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0,b>0),
则 c=2,即a^2+b^2=c^2=4.
动点P满足条件|PM|-|PN|=2倍根号2,则当P点为顶点（a,0）时,
有（a+2）-（2-a）=2根号2,a=根号2.
所以 a^2=2,b^2=2.
所以 W的方程为：x^2/2-y^2/2=1 .
（2）由双曲线x^2/2-y^2/2=1的图象可知,
当且仅当A、B为双曲线的顶点时,OA=OB有最小值：根号2,
也即 OA*OB的最小值2.
PS：这题也可通过设A、B的坐标为（x1,y1）,（x2,y2）,
|OA|=根号(x1^2+y1^2),|OB|=根号(x2^2+y2^2),
这种方法来求.
3,设圆的半经为r,因为圆和y轴相切,所以圆心的横坐标为r,
又因为圆心在直线x-3y=0上,所以圆心的纵坐标为r/3.
由被x轴截得的弦长为4倍根号2,可得：
r^2-(r/3)^2=(2根号2)^2,解得：r=3.
故圆心的坐标为（3,1）,圆的半经为3.
所以圆C的方程为：(x-3)^2+(y-1)^2=9.

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