已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 01:16:49

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．

（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．
（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．

（1）过点M作MF∥BC交AC于F，
∴∠FMD=∠CND，∠MFD=∠NCD，∠AMF=∠B．
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC=4．
∴∠AMF=∠B=60．
∴△AMF是等边三角形，
∴AM=AF=MF．
∵AM=CN，
∴MF=CN．
在△MFD和△NCD中，

∠MFD＝∠NCD
MF＝NC
∠FMD＝∠CN，
∴△MFD≌△NCD（ASA），
∴FD=CD=y．
∴AF=4-2y，
∵AM=MF=x=4-2y，
∴y=
4−x
2（0＜x＜4）；
（2）∵△MFD≌△NCD，
∴S_△MFD=S_△NCD．

∵S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_梯形MBCF=5S_△MFD．
∵△MFD≌△NCD，
∴MF和CN边上的高相等为h，
∴梯形MBCF的高为2h．
∴
(x+4)×2h
2=5×
xh
2，
∴x=
8
3．
答：x=
8
3；
（3）线段DE的长不会改变．
（i）当点M在边AB上时，点D在边AC上，
∵∠AEM=90°，∠A=60°，AM=x，∴AE=
1
2x，
∴DE=4-
1
2x-y=4-
1
2x-（-
1
2x+2）=2，
（ii）当点M在边AB的延长线上时，点D在边AC的延长线上，
过点M作MP∥AC，交直线BC于点P，
∴MP=BM=BP=x-4，
∴CP=CN=x，
∴CD=
1
2x-2，
∴AD=4+
1
2x-2=
1
2x+2，
又∵AE=
1
2x，∴DE=AD-AE=
1
2x+2-
1
2x=2，
综上所述，DE=2，即线段DE的长不会发生变化．

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．如图，已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△A 已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q．下面在三角形ABC中,AB=AC,M为AB上的点,N为AC延长线上的点,且BM=CN,MN交BC与点P 已知△ABC为等边三角形,在图a中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交已知△ABC为等边三角形,点M为BC边上的任意一点,点N在射线CA上,且BM=CN,直线BN和AM交于点E.求∠BEM的如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合,但不与点B重合）过点P作PE⊥BC,垂足已知△ABC为等边三角形,在图18①中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上的任意一点,且BM=CN,直线BN与A （1）已知△ABC为正三角形,点M是射线BC上任意一点,点N是射线CA上任意一点,且BM＝CN,直线BN与AM相交于Q点在等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合,但不与点B重合）,过点P作PE⊥BC,垂足如图① 已知四边形ABCD是正方形当点M在边AB上点N在边BC的延长线上 AM=CN连接MN 取线段MN的中点G 连 △ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于