判断函数f(x)=根号下(2x+4)在[-2,+∞)上的单调性,并证明你的结论
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 03:44:54
判断函数f(x)=根号下(2x+4)在[-2,+∞)上的单调性,并证明你的结论
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解数f(x)=根号下(2x+4)在[-2,+∞)上是单调递增函数,
证明设x1,x2属于[-2,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=√(2x1+4)-√(2x2+4)
=[√(2x1+4)-√(2x2+4)]×1
=[√(2x1+4)-√(2x2+4)]×[√(2x1+4)+√(2x2+4)/√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(√(2x1+4))²-(√(2x2+4))²]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(2x1+4)-(2x2+4)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(2x1-2x2)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
由x1<x2知2x1<2x2,即2x1<2x2,即2x1-2x2<0
又有x1,x2属于[-2,+∞),即√(2x1+4)+√(2x2+4)>0
即
[(2x1-2x2)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
即f(x)=根号下(2x+4)在[-2,+∞)上是单调递增函数.
证明设x1,x2属于[-2,+∞),且x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=√(2x1+4)-√(2x2+4)
=[√(2x1+4)-√(2x2+4)]×1
=[√(2x1+4)-√(2x2+4)]×[√(2x1+4)+√(2x2+4)/√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(√(2x1+4))²-(√(2x2+4))²]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(2x1+4)-(2x2+4)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
=[(2x1-2x2)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]
由x1<x2知2x1<2x2,即2x1<2x2,即2x1-2x2<0
又有x1,x2属于[-2,+∞),即√(2x1+4)+√(2x2+4)>0
即
[(2x1-2x2)]/[√(2x1+4)+√(2x2+4)]<0
即f(x1)-f(x2)<0
即f(x)=根号下(2x+4)在[-2,+∞)上是单调递增函数.
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