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来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 22:24:53

利用换元积分证明
令t=x²,∵0≤x≤√(2*π),∴x=√t,dx=(√t)’dt=1/(2*√t)dt
当x=0时,t=0；当x=√(2*π)时,t=2*π
则I=∫{0,√(2*π)}sin(x²)dx
=∫{0,2*π}sint/(2*√t)dt
=∫{0,π}sint/(2*√t)dt+∫{π,2*π}sint/(2*√t)dt
再令t=2*π-u,则dt= -du
当t=π时,u=π；当t=2*π时,u=0
∫{π,2*π}sint/(2*√t)dt=∫{π,0}sin(2*π-u )/[2*√(2*π-u )]*(-1)du
=-∫{0,π}sinu/[2*√(2*π-u )]du
=-∫{0,π}sint/[2*√(2*π-t )]dt
故I=∫{0,π}{sint/(2*√t)-sint/[2*√(2*π-t)]}dt
=1/2*∫{0,π}{sint*[1/√t-1/√(2*π-t)]}dt
=1/2*∫{0,π}{sint*[√(2*π-t)-√t ]/√[t*(2*π-t)]}dt
∵0≤t≤π,∴2*π-t≥t
则sint*[√(2*π-t)-√t ]/√[t*(2*π-t)]≥0,等号仅在t=π时成立
因此,I=∫{0,√(2*π)}sin(x²)dx>0

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