（2013•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/18 19:32:39

（2013•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），与y轴的交点坐标为（0，-5）．点M是线段AB上的任意一点，过点M（a，0）作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D（C，D不重合），点P是线段MC上一点，连结CD，BD，PD．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，问点P在什么位置时，能使得PD⊥BD；
（3）若点P满足MP＝

（2013•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧

（1）∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与y轴交点坐标为（0，-5），
∴-5=m²-9．
解得：m=±2．
当m=-2，y=0时，x²+4x-5=0
解得：x₁=-5，x₂=1，
∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=-2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x-5；

（2）过D点作DF⊥x轴于点F，
∴∠DFB=90°
∵MC⊥x轴，
∴∠CMB=90°，
∴∠CMB=∠DFB．
∴CM∥DF．

∵C、D关于抛物线的对称轴对称，
∴CD∥x轴，
∴∠MCD=∠CDF=∠CDP+∠PDF=90°
∵PD⊥BD，
∴∠PDB=∠PDF+∠FDB=90°
∴∠PDC=∠BDF．
∵∠PCD=∠BFD=90°，
∴△PCD∽△BFD．
∴
CD
FD＝
PC
BF．
当x=1时，y=-8，
∴C（1，-8），D（3，-8），F（3，0），B（5，0），
设P（1，y），
∴
2
8＝
y+8
2．
解得：y＝−
15
2．
∴当P的坐标为(1，−
15
2)时，PD⊥BD；

（3）假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，

∠EMP＝∠PCD
∠MEP＝∠CPD
PE＝PD，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC．

设C（x₀，y₀），则D（4-x₀，y₀），P(x0，
1
4y0)．
∴|2x0−4|＝−
1
4y0．
∵点C在抛物线y=x²-4x-5上；
∴y₀═x₀²-4x₀-5
∴|2x0−4|＝−
1
4(
x20−4x0−5)．
当2x0−4＝−
1
4(
x20−4x0−5)时，
解得：x₀₁=3，x₀₂=-7（舍去），
当4−2x0＝−
1
4(
x20−4x0−5)时，
解得：x₀₃=1，x₀₄