搜狗做题网微分方程里面关于Pdx+Qdy的原函数问题
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/04 21:10:14
微分方程里面关于Pdx+Qdy的原函数问题
解微分方程中,有一类方程Pdx+Qdy原函数什么积分因子法可以转化成齐次或一阶线性方程,但始终没有搞明白...最好再配有个例题.
我差不多明白当dP/dy=dQ/dx时的解法了,但还一知半解,生搬硬套.还有那个u（x,y）到底是怎么回事..很费解...
江山有水大哥，我差不多看懂那个意思了。但如果具体求解某个这种类型的微分方程，能否随便举个例子呀，我再算算就明白了，555
解微分方程中,有一类方程Pdx+Qdy原函数什么积分因子法可以转化成齐次或一阶线性方程,但始终没有搞明白...最好再配有个例题.
我差不多明白当dP/dy=dQ/dx时的解法了,但还一知半解,生搬硬套.还有那个u（x,y）到底是怎么回事..很费解...
江山有水大哥，我差不多看懂那个意思了。但如果具体求解某个这种类型的微分方程，能否随便举个例子呀，我再算算就明白了，555
这里涉及的知识比较多,主要思想是这样的：
1.Pdx+Qdy如果恰好是某个二元函数的全微分的话,方程的通解就能求出了（此时该方程称为全微分方程）,比如,设
Pdx+Qdy＝du(x,y)
那么方程 Pdx+Qdy=0的通解便为：u(x,y)=C
2.但Pdx+Qdy不一定恰好是某个函数的全微分,判断依据是：dP/dy=dQ/dx,
即：此式成立（当然在某个区域内）,存在u(x,y),如果此式不成立,则不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情况下,可能可以通过乘以某个函数或式子,使得方程成为全微分方程,比如方程：xdy-ydx=0,通过判断知道它不是全微分方程,但如果乘以1/x^2,方程变形为：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通过验证可知它是全微分方程,并且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例这样,乘上的函数1/x^2便称为是积分因子了,一般来说,如果微分方程通过乘以某个函数变成了全微分方程,则称此函数称为该方程的积分因子.
5.若Pdx+Qdy＝du(x,y),则有du/dx=P,du/dy=Q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dQ/dx
反之亦然,这就是判断是否为全微分方程的依据.
1.Pdx+Qdy如果恰好是某个二元函数的全微分的话,方程的通解就能求出了（此时该方程称为全微分方程）,比如,设
Pdx+Qdy＝du(x,y)
那么方程 Pdx+Qdy=0的通解便为：u(x,y)=C
2.但Pdx+Qdy不一定恰好是某个函数的全微分,判断依据是：dP/dy=dQ/dx,
即：此式成立（当然在某个区域内）,存在u(x,y),如果此式不成立,则不存在u(x,y)
3.在不存在u(x,y)的情况下,可能可以通过乘以某个函数或式子,使得方程成为全微分方程,比如方程：xdy-ydx=0,通过判断知道它不是全微分方程,但如果乘以1/x^2,方程变形为：
dy/x-(y/x^2)dx=0
通过验证可知它是全微分方程,并且
dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)
4.象上例这样,乘上的函数1/x^2便称为是积分因子了,一般来说,如果微分方程通过乘以某个函数变成了全微分方程,则称此函数称为该方程的积分因子.
5.若Pdx+Qdy＝du(x,y),则有du/dx=P,du/dy=Q
因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dQ/dx
反之亦然,这就是判断是否为全微分方程的依据.