已知z=2/x²+2y/x+7,x²+y²=2,求z最小值

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/17 06:17:49

∵x²+y²=2
∴设x=√2cosθ,y=√2sinθ
则z=2/2cos²θ+2√2sinθ/(√2cosθ)+7
=1/cos²θ+2sinθ/cosθ+7
=(1+2sinθcosθ)/cos²θ+7
=2(1+sin2θ)/(1+cos2θ)+7
∵1+sin2θ≥0,1+cos2θ≥0
∴当sin2θ=-1时,此时x=±√2,y=0,z有最小值7
∴z的最小值为7
不懂得欢迎追问.
再问： =(1+2sinθcosθ)/cos²θ+7 =2(1+sin2θ)/(1+cos2θ)+7 ，这不没有懂，另外为什么∵1+sin2θ≥0，1+cos2θ≥0 ∴当sin2θ=-1时，所以z有最小值7 还是不理解，另外你刚才设x=√2cosθ，y=√2sinθ 感觉好难，能不能总结一点东西给我一下？
再答：首先，我们先分析题目。看到x²+y²=a²这类型的条件，第一反应是三角换元。其次，(1+2sinθcosθ)/cos²θ+7=2(1+sin2θ)/(1+cos2θ)+7 是因为2sinθcosθ=sin2θ，cos2θ=2cos²θ-1，∴cos²θ=(1+cos2θ)/2（这些都是二倍角公式的常见用法）。最后，∵我们得到了(1+sin2θ)/(1+cos2θ)≥0，而且(1+sin2θ)/(1+cos2θ)是可以等于0的，∴(1+sin2θ)/(1+cos2θ)的最小值为0 PS：这属于典型的三角换元求最值的题目，刚开始可能会无从下手，但是这类型的题目见多了，也就不会觉得很难了。
再问：没学二倍角公式啊，不过明天会学，请问能不能给出常见题型需要二倍角之类的，你能够想多少算多少，谢谢了
再答：这个常见题型的话，其实你可以直接百度，百度文库里面应该有很多类似的总结和例题。

已知z=2/x²+2y/x+7,x²+y²=2,求z最小值已知x+2y+4z=1,求x^+y^+z^的最小值已知x+2y+4z=1,q求x^+y^+z^的最小值已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0,求x+y-z/x+y+z的值已知x,y,z满足x+y+2z=1,x²+y²+6z+1.5=0,求x,y,z的值已知x,y,z∈ R,x+2y=z+6,x-y=3-2z,求x^2+y^2+z^2的最小值. 已知x,y,z均为实数,且满足:x+2y-z=6,x-y+2z=3.求x+y+z的最小值已知x-y=2,y-z=2,x+z=14,求x²-z²的值已知x-y=2,y-z=2,x+z=14,求x²-z²的值. 已知实数x、y、z满足：2x+3y+z=1,则x²+y²+z²的最小值为若x-y=6,xy=-8,求代数式(x+y+z)²+(x-y-z)(x-y+z)-2·z(x+y)的值已知x²+y²=1求z=（y+2）/（x+2）最大值与最小值