m×n矩阵A的秩等于r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R等于n-r.证明过程中为什么设
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/05 20:27:48
m×n矩阵A的秩等于r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R等于n-r.证明过程中为什么设
m×n矩阵A的秩等于r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R等于n-r.
证明过程中为什么设矩阵A的前r个列向量线性无关对结果没有影响?我用的是同济版的教材
m×n矩阵A的秩等于r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R等于n-r.
证明过程中为什么设矩阵A的前r个列向量线性无关对结果没有影响?我用的是同济版的教材
A有r列线性无关
适当调整未知量的顺序,即交换A的列,不影响解的情况
再问: 可是后面又将转换后的矩阵直接作为系数代入线性方程,这样不是和原来的方程组的未知数位置不一样了?不知道我表达清楚没有
再答: 比如:设y1=x2,y2=x1其余yi=xi
那么系数矩阵的1,2列交换
得到解后再将x1,x2交换回来就是原方程组的解
再问: 不好意思这么晚了还这么话唠,但是我是真的不大理解。因为书上并没有这么说明,而是直接就把没转换后的结果作为最终结果了,这样对这个定理的证明没有影响吗?
再答: 不管是否最终结果,这时注重的是解的存在性,交换前后的解一一对应
再问: 顺序都没有换过来怎么是一一对应的呢?
再问: 麻烦了,我提高悬赏
再答: 换过来就是原方程组的解了
换之前是一一对应
再问: 还是不大理解,书上根本就没提过要交换
再问: 还是采纳你的吧,说了这么多
再答: 采纳了哈
但我还是要给你说清楚
书上没提交换, 我提交换是为了帮助理解
举个例子看看吧
x1+2x2+3x3+4x4=0
2x1+4x2+5x3+6x4=0
记为 AX=0
A=
1 2 3 4
2 4 5 6
(前两列线性相关)
令 y1=x1,y2=x3,y3=x2,y4=x4
方程组变为
y1+3y2+2y3+4y4=0
2y1+5y2+4y3+6y4=0
记为 BX=0
B=
1 3 2 4
2 5 4 6
(前两列线性无关)
则 (x1,x2,x3,x4)^T 是 AX=0 的解向量的充要条件是 (x1,x3,x2,x4)^T 是 BX=0 的解向量
所以研究 AX=0 的解的结构 等价于 研究 BX=0 的解的结构
再问: 这样的话求出来的B的解集S的极大无关组不就不等于A的极大无关组了?要交换几个分量才行?
再答: 是。
关键是一一对应,秩相同
再问: 嗯谢谢你了,厉害
适当调整未知量的顺序,即交换A的列,不影响解的情况
再问: 可是后面又将转换后的矩阵直接作为系数代入线性方程,这样不是和原来的方程组的未知数位置不一样了?不知道我表达清楚没有
再答: 比如:设y1=x2,y2=x1其余yi=xi
那么系数矩阵的1,2列交换
得到解后再将x1,x2交换回来就是原方程组的解
再问: 不好意思这么晚了还这么话唠,但是我是真的不大理解。因为书上并没有这么说明,而是直接就把没转换后的结果作为最终结果了,这样对这个定理的证明没有影响吗?
再答: 不管是否最终结果,这时注重的是解的存在性,交换前后的解一一对应
再问: 顺序都没有换过来怎么是一一对应的呢?
再问: 麻烦了,我提高悬赏
再答: 换过来就是原方程组的解了
换之前是一一对应
再问: 还是不大理解,书上根本就没提过要交换
再问: 还是采纳你的吧,说了这么多
再答: 采纳了哈
但我还是要给你说清楚
书上没提交换, 我提交换是为了帮助理解
举个例子看看吧
x1+2x2+3x3+4x4=0
2x1+4x2+5x3+6x4=0
记为 AX=0
A=
1 2 3 4
2 4 5 6
(前两列线性相关)
令 y1=x1,y2=x3,y3=x2,y4=x4
方程组变为
y1+3y2+2y3+4y4=0
2y1+5y2+4y3+6y4=0
记为 BX=0
B=
1 3 2 4
2 5 4 6
(前两列线性无关)
则 (x1,x2,x3,x4)^T 是 AX=0 的解向量的充要条件是 (x1,x3,x2,x4)^T 是 BX=0 的解向量
所以研究 AX=0 的解的结构 等价于 研究 BX=0 的解的结构
再问: 这样的话求出来的B的解集S的极大无关组不就不等于A的极大无关组了?要交换几个分量才行?
再答: 是。
关键是一一对应,秩相同
再问: 嗯谢谢你了,厉害
m×n矩阵A的秩等于r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R等于n-r.证明过程中为什么设
设AX=0是n元齐次线性方程组,若系数矩阵A的秩r(A)=r
设矩阵A(m*n)的秩r(A)=n,则非齐次线性方程组Ax=b()
设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3),α,β,γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量,则方程组Ax=0
设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明:存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0
设A是m*n矩阵,证明A的秩等于其转置矩阵的秩,即r(A)=r(A')
设m×n矩阵A的秩为r(a)=n-1,且a1,a2是齐次线性方程组ax=0的两个不同的解,则ax=0 则ax=0的通解为
关于线性代数的设m*n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3),α.β.γ是齐次线性方程组AX=0的三个线性无关的解向量,则
设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r,则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )
m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=B的n-r+1个线性无关的解向量,证明:a
设A是m×n矩阵,R(A)=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC
线性代数的一道证明题设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,X为s维列向量,证r(AB)=r(B)是否是线性方程组ABX=0与