求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 13:05:23
求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方
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设第一个自然数为a
则这四个连续自然数的积与1的和为a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
=a*(a+3)*(a+1)*(a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a)+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
又因为a为自然数
(1)a是奇数时,a^2,3a都是奇数
(2)a是偶数时,a^2,3a都是偶数.
所以不论a是奇数还是偶数,a^2+3a+1总是一个质数.
所以四个连续自然数的积与1的和是一个质数的平方.
则这四个连续自然数的积与1的和为a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
=a*(a+3)*(a+1)*(a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a)+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
又因为a为自然数
(1)a是奇数时,a^2,3a都是奇数
(2)a是偶数时,a^2,3a都是偶数.
所以不论a是奇数还是偶数,a^2+3a+1总是一个质数.
所以四个连续自然数的积与1的和是一个质数的平方.
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