搜狗做题网空间直线方程如何化为对称式
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 04:07:54
空间直线方程如何化为对称式
举一个实例.把｛2x+3y-4z+2=0 ；x+2y+3z-1=0 化为对称式 .
方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2,3,-4）,
平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1,2,3）,
因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17,-10,1）（向量叉乘会吧?）
取 x = 10,y = -6,z = 1 ,知直线过点 P（10,-6,1）,
所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 .
方法二：把 z 当已知数,可解得 x = 17z-7 ,y = 4-10z ,
由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ,把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ,就得结果.
方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ,z2 = 2,
代入原方程可知直线过 A（10,-6,1）,B（27,-16,2）,
所以直线的方向向量为 AB =（27-10,-16+6,2-1）=（17,-10,1）,
所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 .
（三个方法得到的结果不一样是吧?这只是形式上不同,本质上它们是同一条直线）
再问： 直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 是对的;但是不明白什么原理x = y = z 三个怎么会相等。//难道是因为除以方向向量的原因?
再答： 三个方程在本质上是一样的，因为是用直线上不同的点作为定点写出来的。
不明白它们为什么相等，你只须看看方法二，认真体会，最好自己做一遍，慢慢就理解了。
方法一：平面 2x+3y-4z+2=0 的法向量为 n1 =（2,3,-4）,
平面 x+2y+3z-1=0 的法向量为 n2 =（1,2,3）,
因此直线的方向向量为 v = n1×n2 =（17,-10,1）（向量叉乘会吧?）
取 x = 10,y = -6,z = 1 ,知直线过点 P（10,-6,1）,
所以直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 .
方法二：把 z 当已知数,可解得 x = 17z-7 ,y = 4-10z ,
由此得 (x+7)/17 = (y-4)/(-10) = z ,把最后的 z 改写成 (z-0)/1 ,就得结果.
方法三：取 z 的两个值如 z1 = 1 ,z2 = 2,
代入原方程可知直线过 A（10,-6,1）,B（27,-16,2）,
所以直线的方向向量为 AB =（27-10,-16+6,2-1）=（17,-10,1）,
所以直线的方程为 (x-27)/17 = (y+16)/(-10) = (z-2)/1 .
（三个方法得到的结果不一样是吧?这只是形式上不同,本质上它们是同一条直线）
再问： 直线的对称式方程为 (x-10)/17 = (y+6)/(-10) = (z-1)/1 是对的;但是不明白什么原理x = y = z 三个怎么会相等。//难道是因为除以方向向量的原因?
再答： 三个方程在本质上是一样的，因为是用直线上不同的点作为定点写出来的。
不明白它们为什么相等，你只须看看方法二，认真体会，最好自己做一遍，慢慢就理解了。