帮忙求这个数列的通项(特征根)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/09 05:29:20
帮忙求这个数列的通项(特征根)
用特征根求 a(n)=a(n-1)*a(n-2) a1=1 a2=2 的通项公式
我只想知道为什么不能用特征根。
用特征根求 a(n)=a(n-1)*a(n-2) a1=1 a2=2 的通项公式
我只想知道为什么不能用特征根。
![帮忙求这个数列的通项(特征根)](/uploads/image/z/19115922-66-2.jpg?t=%E5%B8%AE%E5%BF%99%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%EF%BC%88%E7%89%B9%E5%BE%81%E6%A0%B9%EF%BC%89)
由通项公式和初始项,很容易看出a(n)>0,所以
a(n)=a(n-1)*a(n-2) 两边同求对数,得到
log2(a(n))=log2(a(n-1))+log2(a(n-2)),
令b(n)=log2(a(n)),那么就有
b(n)=b(n-1)+b(n-2),
由于x^2-x-1=0的两个根是(1+√5)/2和(1-√5)/2,所以由特征根法可以假设
b(n)=x((1+√5)/2)^n+y((1-√5)/2)^n,其中x,y为待定系数.
将 b1=log2(a1)=0 和 b2=log2(a2)=1 代入,可求出
x=(√5-1)/(2√5),y = (1+√5)/(2√5),
所以 b(n)=(√5-1)/(2√5)*((1+√5)/2)^n+(1+√5)/(2√5)*((1-√5)/2)^n
= 1/√5*((1+√5)/2)^(n-1)-1/√5*((1-√5)/2)^(n-1),
故 a(n)= 2^b(n) = 2^( ((1+√5)/2)^(n-1)-((1-√5)/2)^(n-1))/√5).
a(n)=a(n-1)*a(n-2) 两边同求对数,得到
log2(a(n))=log2(a(n-1))+log2(a(n-2)),
令b(n)=log2(a(n)),那么就有
b(n)=b(n-1)+b(n-2),
由于x^2-x-1=0的两个根是(1+√5)/2和(1-√5)/2,所以由特征根法可以假设
b(n)=x((1+√5)/2)^n+y((1-√5)/2)^n,其中x,y为待定系数.
将 b1=log2(a1)=0 和 b2=log2(a2)=1 代入,可求出
x=(√5-1)/(2√5),y = (1+√5)/(2√5),
所以 b(n)=(√5-1)/(2√5)*((1+√5)/2)^n+(1+√5)/(2√5)*((1-√5)/2)^n
= 1/√5*((1+√5)/2)^(n-1)-1/√5*((1-√5)/2)^(n-1),
故 a(n)= 2^b(n) = 2^( ((1+√5)/2)^(n-1)-((1-√5)/2)^(n-1))/√5).