搜狗做题网（2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/07/13 18:30:39
（2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
| 1 | 2 | 3 | -7 |
| -2 | 1 | 0 | 1 |
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
| a | a2-1 | -a | -a2 |
| 2-a | 1-a2 | a-2 | a2 |
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．
（I）
法1：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第4列得：
1 2 3 7
-2 1 0 -1改变第2行得：
1 2 3 7
2 -1 0 1法2：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第2行得：
1 2 3 7
2 -1 0 -1改变第4列得：
1 2 3 7
2 -1 0 1法3：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第1列得：
-1 2 3 7
2 1 0 -1改变第4列得：
-1 2 3 7
2 1 0 -1（写出一种即可） …（3分）
（II） 每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；
①如果操作第三列，则
a a2-1 a -a2
2-a 1-a2 -a+2 a2则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，
2a−1≥0
5−2a≥0，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行
-a -a2+1 a a2
2-a 1-a2 a-2 a2则每一列之和分别为2-2a，2-2a2，2a-2，2a2
解得a=1 …（9分）
综上a=1 …（10分）
（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于
m
i＝1
n
j＝1|aij|，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）
法1：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第4列得：
1 2 3 7
-2 1 0 -1改变第2行得：
1 2 3 7
2 -1 0 1法2：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第2行得：
1 2 3 7
2 -1 0 -1改变第4列得：
1 2 3 7
2 -1 0 1法3：
1 2 3 -7
-2 1 0 1改变第1列得：
-1 2 3 7
2 1 0 -1改变第4列得：
-1 2 3 7
2 1 0 -1（写出一种即可） …（3分）
（II） 每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；
①如果操作第三列，则
a a2-1 a -a2
2-a 1-a2 -a+2 a2则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，
2a−1≥0
5−2a≥0，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行
-a -a2+1 a a2
2-a 1-a2 a-2 a2则每一列之和分别为2-2a，2-2a2，2a-2，2a2
解得a=1 …（9分）
综上a=1 …（10分）
（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，
从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，
但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，
显然，数表中mn个数之和必然小于等于
m
i＝1
n
j＝1|aij|，
可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）
（2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该
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