设A,B为群G的有限子群,证明|A|·|B|=|AB|·|A∩B|
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 07:44:48
设A,B为群G的有限子群,证明|A|·|B|=|AB|·|A∩B|
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∵A∩B≤A,∴|A∩B|||A|.设n=|A|/|A∩B|
令A=a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)为A关于其子群A∩B的左陪集分解
其中ai∈A,(ai)^(-1)aj∉A∩B,i≠j,i,j=1,2,3...n
∵(ai)^(-1)aj∈A,∴(ai)^(-1)aj∉B .①
而(A∩B)B=B,∴AB=[a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)]B
=a1(A∩B)B∪...∪an(A∩B)B
=a1B∪...∪anB
若有x∈aiB∩ajB (i≠j),则有bi,bj∈B使得
x=aibi=ajbj => (ai)^(-1)aj=bi(bj)^(-1)∈B,这与①矛盾
∴AB=a1B∪...∪anB是AB关于B的不相交的左陪集的并
∴|AB|=n|B|=|A|·|B|/|A∩B|
即|A|·|B|=|AB|·|A∩B|
令A=a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)为A关于其子群A∩B的左陪集分解
其中ai∈A,(ai)^(-1)aj∉A∩B,i≠j,i,j=1,2,3...n
∵(ai)^(-1)aj∈A,∴(ai)^(-1)aj∉B .①
而(A∩B)B=B,∴AB=[a1(A∩B)∪...∪an(A∩B)]B
=a1(A∩B)B∪...∪an(A∩B)B
=a1B∪...∪anB
若有x∈aiB∩ajB (i≠j),则有bi,bj∈B使得
x=aibi=ajbj => (ai)^(-1)aj=bi(bj)^(-1)∈B,这与①矛盾
∴AB=a1B∪...∪anB是AB关于B的不相交的左陪集的并
∴|AB|=n|B|=|A|·|B|/|A∩B|
即|A|·|B|=|AB|·|A∩B|
设(G,*)是可交换群,a,b属于G,a和b都是2阶元素,证明(G,*)必有4阶子群
证明群G的子集H是G的子群,当且仅当 h≠Φ,a,b∈H→a(b^-1)∈H
现代题,设A,B为n阶方阵,证明(A+B)(A-B)=A∧2-B∧2的充要条件是AB=BA
证明设A、B为两事件,则P(AB)>=P(A)+P(B)-1
设A B 为n阶矩阵,且A B AB-I 可逆 证明A-B的逆 可逆
设A B为n阶矩阵,且A B AB-I可逆,证明:A-(B的逆)可逆
设A,B均为n阶方阵,试证明(A+B)^2=A^2+B^2+2AB的充要条件为AB=BA.
设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明:AB=0.
设A,B均为n级方阵,A+B=AB.证明秩A=秩B
设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,证明A,B可交换
设A和B为n阶方阵,A^2B+AB^2=E 证明A+B可逆
设A、B为全集U的子集,请用定义证明~(A∩B)=~A∪~B