设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/28 09:18:28

设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，+∞）时，

x+1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=
1
x-a，
又函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，x∈（0，
1
a）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，
1
a）上是增函数；
x∈（
1
a，+∞）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（
1
a，+∞）上是减函数；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）在（0，
1
a）上是增函数，f（x）在（
1
a，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
即a＞
lnx
x在（0，+∞）上恒成立，
设g（x）=
lnx
x，则g′（x）=
1−lnx
x2，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
故当x=e时，g（x）取得极大值，也为最大值，且为
1
e，
所以a的取值范围是（
1
e，+∞）；
（Ⅲ）要证当x∈（0，+∞）时，
x+1
ex(1+x)
1
x＜e，
可设t=1+x，t∈（1，+∞），
只要证t1+
1
t−1＜et，两边取以e为底的对数，
得
t
t−1lnt＜lnet，即lnt＜t-1，
由（Ⅰ）当a=1时的情况得f（x）=lnx-x的最大值为-1，此时x=1，
所以当t∈（1，+∞）时lnt-t＜-1，
即得lnt＜t-1，所以原不等式成立．

已知函数 f（x）=ax＋lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．设a∈R 求函数f（x）=e^-x(a+ax-x²)（e为自然对数的底数）的单调区间与极值设函数f（x）=e^x+x-a（a∈R,e为自然对数的底数）已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．已知函数f(x)=ax-lnx. ,g(x)=lnx/x,定义域是（0,e],e是自然对数的底数,a属于R 已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数）已知函数g（x）=ex-1-ax，a∈R，e是自然对数的底数．已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R，e为自然对数的底数）．已知函数f（x）=ax-ln（-x）,x∈（-e,0）其中e是自然对数的底数,a∈R 设a∈R,函数f(x)=e^-x/2(ax^2+a+1),其中e是自然对数的底数,f'(x)等于多少? 已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数高中数学函数题设a∈R,函数f(x)=e^-x(x^2+ax+1),其中e是自然对数的底数.