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设函数f(x)=(m-3)ex,g(x)=2ax+1+blnx,其中m,a,b∈R,x>0.曲线g(x)在x=1处的切线

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/15 04:13:11
设函数f(x)=(m-3)ex,g(x)=2ax+1+blnx,其中m,a,b∈R,x>0.曲线g(x)在x=1处的切线方程为y=3x
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)当k≤0时,求h(x)=
1
2
设函数f(x)=(m-3)ex,g(x)=2ax+1+blnx,其中m,a,b∈R,x>0.曲线g(x)在x=1处的切线
(1)g′(x)=2a+
b
x,则g'(1)=2a+b=3,又g(1)=2a+1=3,
解得a=1,b=1,所以g(x)=2x+1+lnx.
(2)h(x)=
1
2kx2+2x+1+lnx(x>0)则h′(x)=kx+2+
1
x=
kx2+2x+1
x(x>0)
当k=0时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)单调递增;
当k<0时,令t(x)=kx2+2x+1;△=4-4k>0,x=

1−k
−k,则x1=
1−
1−k
−k<0,x2=
1+
1−k
−k>0
所以 h(x)在(0,
1+
1−k
−k)单调递增;在(
1+
1−k
−k,+∞)单调递减.
综上:当k=0时,h(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当k<0时,h(x)的单调递增区间为(0,
1+