已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/15 12:38:08

已知圆 O：x²+y²=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为______．

已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点Q（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
又P（1，1），且PA⊥PB，
∴
|AB|
2=|PQ|，即|AB|²=4|PQ|²，
则(x1-y1)2+(x2-y2)2=4(x-1)2+4(y-1)2．
整理得：x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=4(x-1)2+4(y-1)2     ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12=x22+y22=4    ②
再由PA⊥PB，得

PA•

PB=0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x+2y-2   ③
把②③代入①得：(x-
1
2)2+(y-
1
2)2=
3
2．
∴AB的中点Q的轨迹方程为(x-
1
2)2+(y-
1
2)2=
3
2．
故答案为：(x-
1
2)2+(y-
1
2)2=
3
2．

已知圆O:x^2 y^2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,则ab中点q的轨迹方程已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点已知圆的方程为X2+Y2=R2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B,使PA垂直PB,求矩已知圆O:x^2 y^2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,则矩形已知圆的方程为x+y=r,圆内有定点p(a,b).圆周上有两个动点A,B,使PA垂直PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方已知定点A（2,0）,圆x2+y2=1上有一个动点Q,若AQ的中点为P,求动点P的轨迹. 已知圆的方程为x2+y2=r2，圆内有一定点P（a，b），A，B是圆周上的两个动点，PA⊥PB，求矩形APBQ的顶点Q的已知圆的方程为x^2+y^2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A、B,使PA垂直于PB,求矩形APBQ的顶点在圆O的方程为x^2+y^2=r^2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形ABCD的顶点已知定点A为（2，0），圆x2+y2=1上有一个动点Q，若线段AQ的中点为点P，则动点P的轨迹是______．已知定点A（2,0）,P点在圆x2+y2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点,其中O为坐标原点,求Q点的轨迹方程已知定点A（2,0）,P点在圆x2+y2=1上运动,∠AOP的平分线交PA于Q点,其中O为坐标原点,求Q点的轨迹方程&n