两道自主招生试题(数学)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 03:45:04
两道自主招生试题(数学)
1.lim(n趋向于正无穷)[(n+2)^(n+2) *n^n]/(n+1)^2(n+1)
2.已知an=(n+2)/[n!+(n+1)!+(n+2)!] 求an前100项的和S100.
1.lim(n趋向于正无穷)[(n+2)^(n+2) *n^n]/(n+1)^2(n+1)
2.已知an=(n+2)/[n!+(n+1)!+(n+2)!] 求an前100项的和S100.
![两道自主招生试题(数学)](/uploads/image/z/17134968-48-8.jpg?t=%E4%B8%A4%E9%81%93%E8%87%AA%E4%B8%BB%E6%8B%9B%E7%94%9F%E8%AF%95%E9%A2%98%EF%BC%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%EF%BC%89)
第一题答案是1.
可以将极限的后面这个式子变形,得到[(n+2)/(n+1)]^(n+1)·[n/(n+1)]^n·[(n+2)/(n+1)],这整个式子求极限.
这三项分别都有极限,前两项主要运用了
lim(n趋向于无穷)(1+1/n)^n=e
的基本求极限公式.注意,条件是n趋向于无穷,就是说既包含了正无穷也包含了负无穷.
所以,前两项裂项可得
[1+1/(n+1)]^(n+1),极限e
[[1+1/(-(n+1))]^(-n)]^(-1),极限1/e
最后结合极限的运算法则分别求三项的极限再相乘即可.
第2题也可以用裂项法求和,先变性到
an=1/[n!·(n+2)]=(n+1)/(n+2)!
到这里一下子没了思路,但我琢磨着这题只能裂项,所以我尝试了下,碰巧上式就等于
1//(n+1)!-1/(n+2)!
所以答案就是1/2-1/102!
可以将极限的后面这个式子变形,得到[(n+2)/(n+1)]^(n+1)·[n/(n+1)]^n·[(n+2)/(n+1)],这整个式子求极限.
这三项分别都有极限,前两项主要运用了
lim(n趋向于无穷)(1+1/n)^n=e
的基本求极限公式.注意,条件是n趋向于无穷,就是说既包含了正无穷也包含了负无穷.
所以,前两项裂项可得
[1+1/(n+1)]^(n+1),极限e
[[1+1/(-(n+1))]^(-n)]^(-1),极限1/e
最后结合极限的运算法则分别求三项的极限再相乘即可.
第2题也可以用裂项法求和,先变性到
an=1/[n!·(n+2)]=(n+1)/(n+2)!
到这里一下子没了思路,但我琢磨着这题只能裂项,所以我尝试了下,碰巧上式就等于
1//(n+1)!-1/(n+2)!
所以答案就是1/2-1/102!