有n支球队进行比赛,每两个队都赛一场,胜队得3分,负队得0分.平局各得1分.问一个队至少要得多少分,才能保证得分不少于该
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 09:35:31
有n支球队进行比赛,每两个队都赛一场,胜队得3分,负队得0分.平局各得1分.问一个队至少要得多少分,才能保证得分不少于该队(该队除外)的至多有k-1支球队,其中n,k都是给定的整数,且2≤k≤n-1
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我做出的答案是:
当k是偶数时,须得分:3n-3k/2-2;
当k是奇数时,须得分:3n-3k/2-5/2;
解法如下(构造性证明):
1、问题等价于:求积分榜上,排第k+1位的队得分最多可以得多少.理由是:如果求出该值,那么某队得分超过它,即可保证任何情况下,都不会多于k-1个队超过该队.反之,若某队得分小于或者等于该值,那么刚刚的这种积分榜,即可否决之.
2、问题进一步等价于:积分榜上的前k+1队,得分最少者可以最多得多少分.
3、现在我们构造出一种情况,使得2成立,如图一所示.此时,计算得分即可得答案:k为偶数时,第k+1队,胜了(k+1-1)/2+(n-k-1)场,故得分为3n-3k/2-3,所以某队只要多平一场就可满足题意,于是答案:3n-3k/2-2.同理,k为奇数时,可得3[(k+1-2)/2+(n-k-1)]+1*1+1=3n-3k/2-5/2.
4、证明任何一种情况下,第k+1位得分都不会超过上述值.
前k+1队都虐了后面的n-k-1队,已达到最值.反之,若前k+1队中,有队输给后面的,那么第k+1位的得分将会小于我们的答案.
当k为偶数时,前k+1队中相互之间可以产生的胜场数最多是:(k+1)k/2,而构造中相互间的胜场数恰好达到(k+1)k/2,若其中某队多赢了一局,那么必有一队少赢一局,此时,第k+1位的得分将会小于我们的答案.
当k为奇数时,构造中相互间的胜场数(k+1)(k+1-2)/2,平场数为k+1,若将某一平局换成胜负局,那么输队得分减少,此时,第k+1位的得分将会小于我们的答案.
综上所述,命题成立.(由于不易书写,4中证明似有不妥)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/d6/2d6851091f810e067364ec40f6d14813.jpg)
当k是偶数时,须得分:3n-3k/2-2;
当k是奇数时,须得分:3n-3k/2-5/2;
解法如下(构造性证明):
1、问题等价于:求积分榜上,排第k+1位的队得分最多可以得多少.理由是:如果求出该值,那么某队得分超过它,即可保证任何情况下,都不会多于k-1个队超过该队.反之,若某队得分小于或者等于该值,那么刚刚的这种积分榜,即可否决之.
2、问题进一步等价于:积分榜上的前k+1队,得分最少者可以最多得多少分.
3、现在我们构造出一种情况,使得2成立,如图一所示.此时,计算得分即可得答案:k为偶数时,第k+1队,胜了(k+1-1)/2+(n-k-1)场,故得分为3n-3k/2-3,所以某队只要多平一场就可满足题意,于是答案:3n-3k/2-2.同理,k为奇数时,可得3[(k+1-2)/2+(n-k-1)]+1*1+1=3n-3k/2-5/2.
4、证明任何一种情况下,第k+1位得分都不会超过上述值.
前k+1队都虐了后面的n-k-1队,已达到最值.反之,若前k+1队中,有队输给后面的,那么第k+1位的得分将会小于我们的答案.
当k为偶数时,前k+1队中相互之间可以产生的胜场数最多是:(k+1)k/2,而构造中相互间的胜场数恰好达到(k+1)k/2,若其中某队多赢了一局,那么必有一队少赢一局,此时,第k+1位的得分将会小于我们的答案.
当k为奇数时,构造中相互间的胜场数(k+1)(k+1-2)/2,平场数为k+1,若将某一平局换成胜负局,那么输队得分减少,此时,第k+1位的得分将会小于我们的答案.
综上所述,命题成立.(由于不易书写,4中证明似有不妥)
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6只球队进行单循环赛,每两个队赛且仅赛一场,胜者得3分,负者得0分,平局可得1分.
1、4支足球队单循环赛,每两队都赛一场,每场胜者得3分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束4支球队的得分恰好是4个连续自
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4支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分,负者得0 分,平局各得1分.比赛结果,各
6支足球队进行单循环比赛,即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分,请问:
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