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已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是(  )

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 18:17:37
已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是(  )
A. 2
B. 3
C.
3
3
2
已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.P是AB上的点,则点P到AC,BC的距离的积的最大值是(  )
如图:作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.设PM=x.
因为三角形是直角三角形,显然△AMP∽△ACB,所以
AM
AC=
PM
BC可得:
AM
4=
x
3,
所以AM=
4x
3,MC=4-
4x
3.
所以PN=4-
4x
3.
PM•PN=x(4-
4x
3)
=
4
3x(3-x)
=
4
3(-x2+3x)
=-
4
3(x-
3
2)2+3.
由二次函数知识,当x=
3
2时(此时点P是AB的中点),PM•PN有最大值3
答:P到AC,BC的距离乘积的最大值是3.
故选B.