搜狗做题网实数完备性定理问题致密性定理与确界存在性定理的互证第2个和第5个的互证
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/09 02:40:15
实数完备性定理问题
致密性定理与确界存在性定理的互证
第2个和第5个的互证
致密性定理与确界存在性定理的互证
第2个和第5个的互证
你先告诉我你所说是下面的哪个（2已知,关键是另一个）,然后我再考虑
1.(连续性,Dedekind)实轴的切割不产生新的点.
2.(连续性,Bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界.
3.(连续性)单调有界数列必收敛.
4.(连续性,Cantor)闭区间套非空.
5.(紧性,Weierstrass)有界数列必有收敛子列.
6.(紧性,Heine-Borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,Cauchy)实轴上的基本序列收敛.
顺便提一句,连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价,所以不要混用.
1楼看来真是全忘了,这个是数学分析的基础,不是实分析,虽然没必要去区分这两者.
OK.就证这两个.
2=>5:
若数列A_n落在区间[-M,M]上,考察集合
A={x:[-M-2,x]包含A_n的最多有限项}
那么A非空(至少包含-M-1)且上有界(M是一个上界),必存在上确界,记u=supA.
在(u,u+1)中取A_n的一项A_k_1.
在(u,u+1/m)中取A_n一项A_k_m,使得k_m>k_{m-1},由A的定义,这样的项肯定存在.
这样找到了A_n的一个子列A_k_m,容易用极限的定义说明A_k_m收敛到u.
5=>2:
设X是实数集的非空上有界子集,Y是它的上界全体.(此构造同样适用于1=>2,并且是直接得结论)
若X有最大值,那么supX=maxX,即上确界存在.
以下讨论X没有最大值的情况.
在X中任取一点记为A_0,在Y中任取一点记为B_0.
取C_n=(A_n+B_n)/2,若X中存在比C_n大的元素a,那么A_{n+1}=a,B_{n+1}=B_n；
否则A_{n+1}=A_n,B_{n+1}=C_n.
于是B_n是一个有界数列(A_0
1.(连续性,Dedekind)实轴的切割不产生新的点.
2.(连续性,Bolzano)实数集的非空上有界子集必有上确界.
3.(连续性)单调有界数列必收敛.
4.(连续性,Cantor)闭区间套非空.
5.(紧性,Weierstrass)有界数列必有收敛子列.
6.(紧性,Heine-Borel)有界闭区间的开覆盖有有限子覆盖
7.(完备性,Cauchy)实轴上的基本序列收敛.
顺便提一句,连续性、紧性、完备性只在欧氏空间等价,所以不要混用.
1楼看来真是全忘了,这个是数学分析的基础,不是实分析,虽然没必要去区分这两者.
OK.就证这两个.
2=>5:
若数列A_n落在区间[-M,M]上,考察集合
A={x:[-M-2,x]包含A_n的最多有限项}
那么A非空(至少包含-M-1)且上有界(M是一个上界),必存在上确界,记u=supA.
在(u,u+1)中取A_n的一项A_k_1.
在(u,u+1/m)中取A_n一项A_k_m,使得k_m>k_{m-1},由A的定义,这样的项肯定存在.
这样找到了A_n的一个子列A_k_m,容易用极限的定义说明A_k_m收敛到u.
5=>2:
设X是实数集的非空上有界子集,Y是它的上界全体.(此构造同样适用于1=>2,并且是直接得结论)
若X有最大值,那么supX=maxX,即上确界存在.
以下讨论X没有最大值的情况.
在X中任取一点记为A_0,在Y中任取一点记为B_0.
取C_n=(A_n+B_n)/2,若X中存在比C_n大的元素a,那么A_{n+1}=a,B_{n+1}=B_n；
否则A_{n+1}=A_n,B_{n+1}=C_n.
于是B_n是一个有界数列(A_0
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