如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/06 22:28:28
如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H. (1)①直接写出点E的坐标: . ②求证:AG=CH. (2)如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式. (3)在(2)的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径. ![]() |
![如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,](/uploads/image/z/15779419-43-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE1%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E7%9F%A9%E5%BD%A2OABC%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9O%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%EF%BC%8C%E9%A1%B6%E7%82%B9A%E3%80%81C%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E3%80%81y%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E4%B8%94OA%EF%BC%9D2%EF%BC%8COC%EF%BC%9D1%EF%BC%8C)
(1)① (1,
)。
②证明:∵四边形OABC是矩形,∴CE=AE,BC∥OA。∴∠HCE=∠GAE。
∵在△CHE和△AGE中,∠HCE=∠GAE, CE=AE,∠HEC=∠G EA,
∴△CHE≌△AGE(ASA)。∴AG=CH。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,连接AC, 则由矩形的性质,点E在AC上。
∵DD=OC=1=
OA,∴D是OA的中点。
∵在△CME和△ADE中,
∠MCE=∠DAE, CE=AE,∠MEC=∠DEA,
∴△CME≌△ADE(ASA)。∴CM=AD=2-1=1。
∵BC∥OA,∠COD=90°,∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD,MD⊥CB。
∴MD切⊙O于D。
∵HG切⊙O于F,E(1,
),∴可设CH=HF=x,FE=ED=
=ME。
在Rt△MHE中,有MH 2 +ME 2 =HE 2 ,即(1-x) 2 +(
) 2 =(
+x) 2 ,解得x=
。
∴H(
,1),OG=2-
。∴G(
,0)。
设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:
,解得:
。
∴直线GH的函数关系式为
。
(3)连接BG,
∵在△OCH和△BAG中,
CH=AG,∠HCO=∠GAB,OC=AB,
∴△OCH≌△BAG(SAS)。∴∠CHO=∠AGB。
∵∠HCO=90°,∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F。
∴OH平分∠CHF。∴∠CHO=∠FHO=∠BGA。
∵△CHE≌△AGE,∴HE=GE。
∵在△HOE和△GBE中,HE=GE,∠HEO=∠GEB,OE=BE,
∴△HOE≌△GBE(SAS)。∴∠OHE=∠BGE。
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,∴∠BGA=∠BGE,即BG平分∠FGA。
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,∴圆心P必在BG上。
过P做PN⊥GA,垂足为N,则△GPN∽△GBA。∴
。
设半径为r,则
,解得
。
答:⊙P的半径是
.
一次函数综合题,矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,切线的判定和性质,勾股定理,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,角平分线的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1))①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。
②推出CE=AE,BC∥OA,推出∠HCE=∠EAG,证出△CHE≌△AGE即可。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,求出DD=OC=
OA,证△CME≌△ADE,推出四边形CMDO是矩形,求出MD切⊙O于D,设CH=HF=x,推出(1-x) 2 +(
) 2 =(
+x) 2 ,求出H、G的坐标,设直线GH的解析式是y=kx+b,把G、H的坐标代入求出即可。
(3)连接BG,证△OCH≌△BAG,求出∠CHO=∠AGB,证△HOE≌△GBE,求出∠OHE=∠BGE,得出BG平分∠FGA,推出圆心P必在BG上,过P做PN⊥GA,垂足为N,根据△GPN∽△GBA,得出
,设半径为r,代入求出即可。
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
②证明:∵四边形OABC是矩形,∴CE=AE,BC∥OA。∴∠HCE=∠GAE。
∵在△CHE和△AGE中,∠HCE=∠GAE, CE=AE,∠HEC=∠G EA,
∴△CHE≌△AGE(ASA)。∴AG=CH。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,连接AC, 则由矩形的性质,点E在AC上。
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/98/b98fd3e036ed61ec88307dc1b532c0a8.jpg)
∵DD=OC=1=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
∵在△CME和△ADE中,
∠MCE=∠DAE, CE=AE,∠MEC=∠DEA,
∴△CME≌△ADE(ASA)。∴CM=AD=2-1=1。
∵BC∥OA,∠COD=90°,∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD,MD⊥CB。
∴MD切⊙O于D。
∵HG切⊙O于F,E(1,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
在Rt△MHE中,有MH 2 +ME 2 =HE 2 ,即(1-x) 2 +(
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/87/58780cb354cc7148c45349bdb7349f30.jpg)
∴H(
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/87/58780cb354cc7148c45349bdb7349f30.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/fb/4fbe10c2cded1735f40e5a5fa35c7d75.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/24/3240ca082a8d562257e40ea801a91a17.jpg)
设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/55/355334187cdae5f7e33a7f8680640098.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/a4/2a46d0f2445aeee0d30d632eb9b047ce.jpg)
∴直线GH的函数关系式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/a1/3a1f0e29f3b157f49e35543fa71e5e07.jpg)
(3)连接BG,
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/2d/f2dd22e3810b8a3f7a48cc7375420fca.jpg)
∵在△OCH和△BAG中,
CH=AG,∠HCO=∠GAB,OC=AB,
∴△OCH≌△BAG(SAS)。∴∠CHO=∠AGB。
∵∠HCO=90°,∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F。
∴OH平分∠CHF。∴∠CHO=∠FHO=∠BGA。
∵△CHE≌△AGE,∴HE=GE。
∵在△HOE和△GBE中,HE=GE,∠HEO=∠GEB,OE=BE,
∴△HOE≌△GBE(SAS)。∴∠OHE=∠BGE。
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,∴∠BGA=∠BGE,即BG平分∠FGA。
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,∴圆心P必在BG上。
过P做PN⊥GA,垂足为N,则△GPN∽△GBA。∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/88/b8874b668c1757a14f4d06e8d3460ec6.jpg)
设半径为r,则
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b9/fb9a9e39cf1c9840ba9ec476df87d107.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/a5/ca59fef9f3a4ccbb140211e55596896d.jpg)
答:⊙P的半径是
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/f5/3f5fc8c31c32bfe7816b54fe00d50fbf.jpg)
一次函数综合题,矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,切线的判定和性质,勾股定理,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,角平分线的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1))①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。
②推出CE=AE,BC∥OA,推出∠HCE=∠EAG,证出△CHE≌△AGE即可。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,求出DD=OC=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e3/fe32082375ddaafa029702bc63eb508c.jpg)
(3)连接BG,证△OCH≌△BAG,求出∠CHO=∠AGB,证△HOE≌△GBE,求出∠OHE=∠BGE,得出BG平分∠FGA,推出圆心P必在BG上,过P做PN⊥GA,垂足为N,根据△GPN∽△GBA,得出
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/88/b8874b668c1757a14f4d06e8d3460ec6.jpg)
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩
如图,在平面直角坐标系中,矩形oabc的顶点o在坐标原点,顶点b的坐标为(6,2根号3),顶点a、c分别在x轴和y轴上,
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如图,在平面直角坐标系xoy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,O
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