设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 18:52:46
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.
(1)证明:f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.
(1)证明∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴,
∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3.又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],
则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)
且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],
故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.
综上可知f(x)=
(x−4)3 3≤x≤5
−(x−6)3 5<x≤7.
∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3.又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],
则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)
且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],
故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.
综上可知f(x)=
(x−4)3 3≤x≤5
−(x−6)3 5<x≤7.
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x属于R,f(x+2)=-f(x),当-1
设直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴,对于任意x属于R,f(x+2)=-f(x),当-1小于等于1时,f(x)=x
设f(x)是二次函数,且对于任意x∈R,有f²(x)+1=f[f(x)],求f(x)的表达式.
设函数y=f(x)定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)·f(y)成立
设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意的x∈R,f(1+x)-f(1-x)=0恒成立,当x∈[0,1]时,f(x)=
设f(x)是定义域在R上的函数,对任意x,y ∈R,恒有f(x+y)=f(x)×f(y),当x>0时,有0<f(x)<1
已知函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R) (2)当x∈[0,1]时,设函数y=f(x)图象任意一点处的切线的倾斜角
设函数Y=f(x)是定义域R上的奇函数满足f(x-2)=-f(x)对于一切X属于R都成立则函数f(x)图象的对称轴?
f(x)是R上的函数 f(x+3)=-f(x) 当0≤X≤1 f(x)=x 则f(9.5)等于?
设f(x)的图象是抛物线,并且当点(x,y)在f(x)图象上任意移动时,点(x,y2+1)在函数g(x)=f[f(x)]