n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0](底下还有两个0)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 09:46:35
n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0](底下还有两个0)
不要用到特征值(那个我也会) 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识
不要用到特征值(那个我也会) 还有什么最小多项式之类的知识 就用分块矩阵一类的简单知识
第一步:
设A = (a1, a2, ..., an), B = E - A = (b1, b2, ..., bn),
则AB = A(E - A) = A - A^2 = 0.
可见b1, b2, ..., bn都是齐次线性方程组Ax = 0的解向量,
因而能由Ax = 0的基础解系c1, c2, ... ct线性表示, 其中t = n - r.
故秩(B) = 秩(b1, b2, ..., bn) 小于或等于 n - r.
由此可得 秩(A) + 秩(B) 小于或等于 n.
另一方面, A + B = A + E - A = E,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A) + 秩(B).
综合上述两个方面可得 秩(A) + 秩(B) = n.
第二步:
不妨设 a1, a2, ..., ar 为 a1, a2, ..., an 的一个极大无关组,
b1, b2, ..., bt为 b1, b2, ..., bn 的一个极大无关组,
则a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性无关
(否则秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n,
而a1, a2, ..., an及b1, b2, ..., bn都能由a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性表示,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A, B) = 秩(a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn) 小于或等于 秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n, 矛盾!).
于是得n阶可逆矩阵(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
第三步:
令P^-1 = (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
则AP^-1 = A(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) = (Aa1, Aa2, ..., Aar, Ab1, Ab2, ..., Abt)
= (a1, a2, ..., ar, 0, 0, ..., 0)
= (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt)(Er 0 底下还有两个0)
= P^-1(Er 0 底下还有两个0).
上式两端同时左乘以P可得PAP^-1 = (Er 0 底下还有两个0).
设A = (a1, a2, ..., an), B = E - A = (b1, b2, ..., bn),
则AB = A(E - A) = A - A^2 = 0.
可见b1, b2, ..., bn都是齐次线性方程组Ax = 0的解向量,
因而能由Ax = 0的基础解系c1, c2, ... ct线性表示, 其中t = n - r.
故秩(B) = 秩(b1, b2, ..., bn) 小于或等于 n - r.
由此可得 秩(A) + 秩(B) 小于或等于 n.
另一方面, A + B = A + E - A = E,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A) + 秩(B).
综合上述两个方面可得 秩(A) + 秩(B) = n.
第二步:
不妨设 a1, a2, ..., ar 为 a1, a2, ..., an 的一个极大无关组,
b1, b2, ..., bt为 b1, b2, ..., bn 的一个极大无关组,
则a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性无关
(否则秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n,
而a1, a2, ..., an及b1, b2, ..., bn都能由a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性表示,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A, B) = 秩(a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn) 小于或等于 秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n, 矛盾!).
于是得n阶可逆矩阵(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
第三步:
令P^-1 = (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
则AP^-1 = A(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) = (Aa1, Aa2, ..., Aar, Ab1, Ab2, ..., Abt)
= (a1, a2, ..., ar, 0, 0, ..., 0)
= (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt)(Er 0 底下还有两个0)
= P^-1(Er 0 底下还有两个0).
上式两端同时左乘以P可得PAP^-1 = (Er 0 底下还有两个0).
n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0](底下还有两个0)
试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩阵T,使得T^-1AT=diag(Er,0),其中r为秩,Er为
高等代数矩阵证明题A为nxn矩阵,rankA=r,证:存在一个nxn可逆矩阵P使PAP∧(-1)的后n-r行全为0(只用
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设A是m*n矩阵,证明:r(A)=r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
设A为可逆n阶方阵,证明存在正交矩阵P,Q使得PAQ为对角矩阵
n阶矩阵A满足A²-3A+2E=0,-证明A-3E是可逆矩阵
设m*n矩阵A,m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,矩阵B=PAQ,证明:r(A)=r(B)
设A,B为N阶方阵,E为单位矩阵,a1,a2,.an,为B的N个特征值,且存在可逆矩阵P使B=PAP^(-1)-p^(-
设n阶矩阵A满足A(的平方)-A-2E=0,证明A及A+2E都可逆,并求出这两个逆矩阵
设A是n阶不可逆矩阵 证明 存在n阶非零矩阵B C 使得AB=CA=0
证明矩阵可逆设n阶矩阵A满足A(的平方)-A-2E=0,证明A及A+2E都可逆,并求出这两个逆矩阵