3^x+4^y=5^z用数论证明唯一解为2,是勾股数

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 07:01:13

3^x+4^y=5^z用数论证明唯一解为2,是勾股数
考虑mod3知x为偶数
考虑mod3知z为偶数
设x=2a,z=2b
原方程为2^（2y）=(5^b+3^a)(5^b-3^a).

考虑mod3知z是偶数,设z=2u.则原方程化为 5^(2u)-2^(2y)=3^x,(5^u+2^y)(5^u-2^y)=3^x
由此可得 5^u+2^y=3^x (1) 以及 5^u-2^y=1 (2) 由5=6-1,2=3-1 可知
(-1)^u+(-1)^y=0 (mod3)
(-1)^u-(-1)^y=1 (mod3)
于是u为奇数,y为偶数,令y=2v.此时由(1)式可得：(4+1)^u+4^v=(4-1)^x,因此 1=(-1)^x (mod4),所以x也是偶数.如果y>2,则由(1)得 5=1 (mod8) 矛盾.所以只能有 y=2.
再由(2)得 5^u=1+2^2=5,于是 u=1,z=2u=2.最后可以求出 3^x=5^2-4^2=9,x=2.
因此原方程有且只有一组(x,y,z)=(2,2,2).
3^x被3整除,4的任意次方被3除余1,所以5^z＝1 (mod3),所以z只能是偶数(z是奇数5^z=2(mod3))

3^x+4^y=5^z用数论证明唯一解为2,是勾股数证明x*x+y*y=z*z有正整数解,即存在自然数满足x*x+y*y=z*z.特别申明要用数论推理来证明,不是举例设x、y、z为整数,证明:x^4*(y-z)+y^4*(z-x)+z^4*(x-y)/(y+z)^2+(z+x)^2+( 试证明(x+y-2z)+(y+z-2x)+(z+x-2y)=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y) 1.x+y+z=30,3x+y-z=50,x,y,z为非负数,求5x+4y+2z取值范围. 已知3x-2y-5z=0,2x-5y+4z=0,且x,y,z均不为0,求3x*x+2y*y+5z*z/5x*x+y*y- 已知3x-2y-5z=0,2x-5y+4z=0,且x,y,z都不为0,求（3x*x+y*y+4z*z）/（5x*x+y* 用MATLAB画出U=5x+4y+2z的图形条件为x+y+z=30；3x+y+z=50 用柯西不等式证明：如果x,y,z为正数,x+y+z=1,则x^2+y^2+z^2>=1/3 解方程组：x+y+z=4,x+y+2z=5,3x+y-z=6 已知x,y,z为正数,3^x=4^y=6^z,2x=py. (1)求p的值（2）证明：1/z-1/x=1/2y 若4x=7y+5z,2x+y=z,则x:y:z的值为