搜狗做题网一道高中数学立体几何题 有一定难度
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/28 06:50:53
一道高中数学立体几何题 有一定难度
三棱柱P-ABC AB垂直于BC AC中点O PC中点D AB=BC=K乘PA OP垂直面ABC
问： K为何值时,O在面PBC内的射影为三角形PBC的垂心?
谢谢啦~!
三棱柱P-ABC AB垂直于BC AC中点O PC中点D AB=BC=K乘PA OP垂直面ABC
问： K为何值时,O在面PBC内的射影为三角形PBC的垂心?
谢谢啦~!
∵Rt△ABC,O是AC的中点,OA=OB=OC,又OP⊥面ABC,
∴PA=PB=PC.
作PD⊥BC于D,CE⊥AB于E,CE∩PD=F,则F为△PBC的垂心,
因此,D是BC的中点.
连结OD,则OD⊥BC,又∵O是AC的中点,
∴ OD=1/2*AB=1/2.
设AB=BC=1,则PA=PB=PC=1/k.
PD=√(PB²-DB²)=√[(1/k) ²-(1/2) ²].
由等积原理得：1/2*BC*PD=1/2PB*CE,
CE=PD/PB=√[(1/k) ²-(1/2) ²]/(1/k)=k√[(1/k) ²-(1/2) ²]
=1/2*√（4-k²）.
BE=√(BC²-CE²)=√(1²-1+K²/4)=k/2.
又∵Rt△CDF∽Rt△CEB,∴FD/CD=BE/CE,
∴FD=BE*CD/CE=k/2√（4-k²）.
连结OF,当OF⊥面PBC时,我们计算k的值.
∵OF⊥面PBC,∴OFD是Rt△.OF=√(OD²+FD²)=√[(1/2) ²+k²/4(4-k²)].
另一方面,在Rt△POD中,PO=√(PD²-OD²)
=√[(1/k) ²-(1/2) ²-(1/2) ²]=√[(8-k²)/8k²].
(由等积原理得：1/2*OD*PO=1/2*PD*OF,
∴OF=OD*PO/PD=1/2*√[(8-k²)/8k²]./√[(1/k) ²-(1/2) ²].
因此得到：
√[(1/2) ²+k²/4(4-k²)]=1/2*√[(8-k²)/8k²]./√[(1/k) ²-(1/2) ²].
解得k=2.因此,当k=2时,即PB/BC=PA/AB=1/2时,O在面PBC内的射影恰为△PBC的垂心.
∴PA=PB=PC.
作PD⊥BC于D,CE⊥AB于E,CE∩PD=F,则F为△PBC的垂心,
因此,D是BC的中点.
连结OD,则OD⊥BC,又∵O是AC的中点,
∴ OD=1/2*AB=1/2.
设AB=BC=1,则PA=PB=PC=1/k.
PD=√(PB²-DB²)=√[(1/k) ²-(1/2) ²].
由等积原理得：1/2*BC*PD=1/2PB*CE,
CE=PD/PB=√[(1/k) ²-(1/2) ²]/(1/k)=k√[(1/k) ²-(1/2) ²]
=1/2*√（4-k²）.
BE=√(BC²-CE²)=√(1²-1+K²/4)=k/2.
又∵Rt△CDF∽Rt△CEB,∴FD/CD=BE/CE,
∴FD=BE*CD/CE=k/2√（4-k²）.
连结OF,当OF⊥面PBC时,我们计算k的值.
∵OF⊥面PBC,∴OFD是Rt△.OF=√(OD²+FD²)=√[(1/2) ²+k²/4(4-k²)].
另一方面,在Rt△POD中,PO=√(PD²-OD²)
=√[(1/k) ²-(1/2) ²-(1/2) ²]=√[(8-k²)/8k²].
(由等积原理得：1/2*OD*PO=1/2*PD*OF,
∴OF=OD*PO/PD=1/2*√[(8-k²)/8k²]./√[(1/k) ²-(1/2) ²].
因此得到：
√[(1/2) ²+k²/4(4-k²)]=1/2*√[(8-k²)/8k²]./√[(1/k) ²-(1/2) ²].
解得k=2.因此,当k=2时,即PB/BC=PA/AB=1/2时,O在面PBC内的射影恰为△PBC的垂心.