已知函数f(x)=log21−x1+x.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 02:48:07
已知函数f(x)=log2
1−x |
1+x |
![已知函数f(x)=log21−x1+x.](/uploads/image/z/13762568-56-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dlog21%E2%88%92x1%2Bx%EF%BC%8E)
(1)由
1−x
1+x>0得-1<x<1,
∴函数f(x)的定义域为(-1,1);
又f(-x)+f(x)=log2
1+x
1−x+log2
1−x
1+x=log2(
1+x
1−x•
1−x
1+x)=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数.
(2)方程f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程
1−x
1+x=x-k即k=x-
1−x
1+x在(-1,1)内有解,
∴实数k属于函数y=x-
1−x
1+x=x+1-
2
1+x在(-1,1)内的值域.
令x+1=t,则t∈(0,2),因为y=t-
2
t在(0,2)内单调递增,所以t-
2
t∈(-∞,1).
故实数k的取值范围是(-∞,1).
1−x
1+x>0得-1<x<1,
∴函数f(x)的定义域为(-1,1);
又f(-x)+f(x)=log2
1+x
1−x+log2
1−x
1+x=log2(
1+x
1−x•
1−x
1+x)=log21=0,
所以f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数.
(2)方程f(x)=log2(x-k)有实根,也就是方程
1−x
1+x=x-k即k=x-
1−x
1+x在(-1,1)内有解,
∴实数k属于函数y=x-
1−x
1+x=x+1-
2
1+x在(-1,1)内的值域.
令x+1=t,则t∈(0,2),因为y=t-
2
t在(0,2)内单调递增,所以t-
2
t∈(-∞,1).
故实数k的取值范围是(-∞,1).