为什么r(A)=n-1就|A|=0

本题被称为薛尔福斯特公式,是Frobenius不等式的特殊情形,就是那里令B=E,我之前回答过http://zhidao.baidu.com/question/338678441.html?oldq=

问题可以这样看,设n阶阵A=(a_ij)的秩是n-1,A*=(A_ji)是伴随矩阵,其中A_ij是i行j列的代数余子式,下面要证明AA*=0.利用Laplace展开来看这里说明AA*的对角元全部等于0

利用了以下结论：1、n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系中的向量个数是n-r(A),也就是基础解系的秩是n-r(A)；2、向量组I由向量组II线性表示,则向量组I的秩小于等于向量组II的秩.根据AB=

当R(A)=n时,有A可逆,|A|≠0,由AA*=|A|E,说明A*可逆,R(A*)=n当r(A)=n-1时,有A不可逆,|A|=0所以AA*=|A|E=0,所以r(A*)<=n-r(A)=1.

经管线代第四版? 不知道给你个证明:

你的思路是对的,同解的证明如图.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

定理说的是A的秩与Ax=0的解空间,记为S,的秩的和=n题目中的A和X都是矩阵,因此理解也不同.由AX=0可知X的列向量都满足Ax=0,故都在解空间S中.于是r(X)

在这里:\x0d\x0d\x0d你去我空间相册看看吧,有些结论的图片我都放那里了.

因为AA*=|A|E=O所以A*的列向量都是AX=0的解所以A*的列向量可由AX=0的基础解系线性表示所以r(A*)

A可逆,可表示为初等矩阵的乘积A=P1...PsP1,PsB相当于对B做初等行变换而初等变换不改变矩阵的秩所以R(AB)=R(B)

根据等式AA*=|A|E1.当R(A)=n时,|A|≠0,|AA*|=|A|^n≠0,所以|A*|≠0,R（A*）=n2.当R(A)≠n时,|A|=0,AA*=|A|E=0,R(A)+R(A*)再问：

当R(A)=n时,有A可逆,|A|≠0,由AA*=|A|E,说明A*可逆,R(A*)=n当r(A)=n-1时,有A不可逆,|A|=0所以AA*=|A|E=0,所以r(A*)=1.所以r(A*)=1当r

这里边用到两个结论：r(A+B)=r(A+E-A)=r(E)=n.中间等号必须成立,因此r(A)+r(A-E)=n.2、(A+E)(A-E)=0,因此n>=r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r

如果知道Jordan标准型的话就显然了.如果不知道的话就证明A^{n+1}x=0和A^nx=0同如果A非奇异则显然成立,否则利用n-1>=rank(A)>=rank(A^2)>=...>=rank(A

这题0是n-r吧再问：0是n-r，打错了不过已经知道了^_^

因为B行列式不为零,所以B=k*Q1Q2...Qt（Qi为初等矩阵,对应A的初等列变换）由于矩阵经过初等列变换不改变秩,故A经每步初等列变换秩序不变,故r(AB)=r(A)不懂追问

知识点:若AB=0,则r(A)+r(B)再问：因为r(A)=n-1,所以|A|=0这个怎么理解？再答：你教材中矩阵的秩怎么定义的?1.矩阵的秩等于行秩等于列秩2.A中最高阶非零子式的阶

方程组AX=0的基础解系含n-r(A)个线性无关的解向量,这是定理,与r(A)=1没有因果关系再问：那这个解空间的解向量一定线性相关吗？再答：一定线性相关解空间的解向量有无穷多,齐次线性方程组的解的线

点击看大图:再问：当r(A)=n-1时，A至少有一个n-1阶子式不为0，那为什么A*≠0？再答：A*是由代数余子式Aij构成的Aij=(-1)^(i+j)MijMij包含了A的所有n-1阶子式所以至少

AA*=|A|E1.如果r(A)=n,则|A|≠0|A*|≠0所以A*可逆.r(A*)=n2.r(A)=n-1时|A|=0,所以AA*=Or(A)+r(A*)