无穷收敛级数怎么求和?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/11 05:11:40
无穷收敛级数怎么求和?
比如:
从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?
比如:
从一开始,所有自然数的平方的倒数和,等于多少?
![无穷收敛级数怎么求和?](/uploads/image/z/20150125-61-5.jpg?t=%E6%97%A0%E7%A9%B7%E6%94%B6%E6%95%9B%E7%BA%A7%E6%95%B0%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%B1%82%E5%92%8C%3F)
1+1/2²+1/3²+ … +1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
---------------------------
将sinx按泰勒级数展开:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根为π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6
参考http://zhidao.baidu.com/question/33465312.html?si=1
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y=0的根为π²,(2π)²,…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
故1+1/2²+1/3²+ … =π²/6
参考http://zhidao.baidu.com/question/33465312.html?si=1