求证一个关于矩阵的问题

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 21:59:10

求证一个关于矩阵的问题
如果A 是一个m*n的矩阵且Ax=0 适用于所有x属于R^n
求证A=0

Ax=0 适用于所有x属于R^n,
那么显然向量x1=(1,0,...,0)^T,x2=(0,1,0,...,0)^T,...,xn=(0,...,0,1)^T
都能满足Ax=0
即方程有n个线性无关的解向量,
而由定理可以知道,
方程Ax=0的基础解系中所含的向量个数为n-r(A)个
在这里方程有n个线性无关的解向量
即n=n-r(A)
所以显然r(A)=0,
即矩阵A=0,
于是命题得到了证明

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