积分 dx/√(x^2+2x+2)用欧拉代换怎么求
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/06 12:52:16
积分 dx/√(x^2+2x+2)用欧拉代换怎么求
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√(x^2+2x+2)+t=x
(x-t)^2=x^2+2x+2
t^2-2=(2+2t)x
x=(t^2-2)/(2+2t)
dx=(2t*(2+2t)-(t^2-2)*2)/(2+2t)^2dt=(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt
原式=∫1/((t^2-2)/(2+2t)-t)*(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt
=∫1/((t^2-2)/(2+2t)-t)*(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt=∫-dt/(1+t)
=-ln|1+t|+C
=-ln|1+x-√(x^2+2x+2)|+C
(x-t)^2=x^2+2x+2
t^2-2=(2+2t)x
x=(t^2-2)/(2+2t)
dx=(2t*(2+2t)-(t^2-2)*2)/(2+2t)^2dt=(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt
原式=∫1/((t^2-2)/(2+2t)-t)*(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt
=∫1/((t^2-2)/(2+2t)-t)*(2t^2+4t+4)/(2+2t)^2dt=∫-dt/(1+t)
=-ln|1+t|+C
=-ln|1+x-√(x^2+2x+2)|+C