已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 06:09:22

已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______
同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为_______
同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为_______

a≡0时,两个方程都有解,x≡0(mod2) x≡0(mod3)
称为平凡解.下面讨论非平凡
一般情况：f(x)≡0（mod p^n)有解,则f(x)≡0（mod p)有解
f(x)≡0（mod p)无解,则f(x)≡0（mod p^n)无解
对本题,令 f(x)=x^2-a
f '(x)=2x
x^2 ≡ a(mod2^2005)
(a,2)=1,a≡1(mod 2)
x^2≡1 (mod 2) 有解x≡1(mod 2)
f (1)≡0(mod 2),f '(1)≠0(mod 2)
故 x^2 ≡ a(mod2^2005)的解的个数与x^2 ≡ a(mod2)的解的个数相同,
所以,有一个非平凡解解.
同理：a≡1(mod 3)
x^2≡1 (mod 3) 有解x≡1(mod 3) x≡2(mod 3) 两个解
f(1)≡0(mod 3) f(2)≡0(mod 3)
f '(1)≠0(mod 3) f '(2)≠0(mod 3)
有两个解,所以x^2 ≡ a(mod3^2008)有两个非平凡解解.
a≡2（mod 3) 无解.
再问：我们试卷上给的答案是：同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为__4___ 同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为__2___ 请问为什么？
再答：马虎了，这是二次同余式，在数论《数论导引》华罗庚，48页，有定理如下：令l>0,p不整除n, p>2, x^2≡n (mod p)的解数为 1+(n/p) ((n/p)=±1,1+(n/p)=0或2，即无解或二解） p=2时，有三种情况： l=1,有一解 l=2 n≡1(mod 2)有二解，n≡3(mod 4）无解 l>2 n≡1(mod 8)有四解，n≠1(mod 8) 无解
再问：是否p>2时，有解就一定有2解，p=2就分情况讨论？
再答：上面已经给出了判定定理，（其中（n/p)是Legendre 符号）另外在柯召的《数论讲义》上册118页也有同样的定理。
再问：谢谢你了，我刚下了数论《数论导引》华罗庚来看，懂了，麻烦你了，谢谢！

已知关于x的方程mx-n=2+nx,则方程中未知数的系数是_______,当满足______的条件时,方程有解,其解为_ 已知多项多项式2x3-4x2-1除以多项式A得商式为2x，余式为x-1，则多项式A为______．已知（a-3）x|a|-2+6=0是关于x的一元一次方程，则a=______，方程的解为______．已知ax的平方+3x+11=2(x的平方-x)+3a是关于x的一元一次方程,则其解为______ x是一个整型变量,逻辑表达式x mod2=1为真时,则表示已知关于x的方程2x+1=ax+5的解为正整数，则整数a的值为______．已知（a-3）x|a|-2+6=0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ______．已知椭圆x/a+y/b=1其长轴长是短轴长的2倍有准线方程为x=4根号3/3 求该椭圆的方程已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=______，另一根为______．已知3x-2＝5a与2x－a＝3有同解,求a值,并解这俩方程. 已知方程3ax加8等于2x(a减1),则在什么情况下a与x同为非正整数关于x的方程||x-2|-1|=a恰有三个整数解，则a的值为______．