可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 04:14:27
可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
![可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'](/uploads/image/z/19684901-29-1.jpg?t=%E5%8F%AF%E5%AF%BC%E7%9A%84%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%9C%89f%E2%80%98%28x%29%3D%5Bf%28-x%29%5D%27%2C%E5%8F%AF%E5%AF%BC%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%9C%89f%27%28x%29%3D-%5Bf%28-x%29%5D%27)
求证:可导偶函数的导函数是奇函数
证明:设f(x)是可导偶函数,g(x)是f(x)的导函数
则f(-x)=f(x)
∵f(x)是可导函数
∴f(x)在x=x'处左右导数相等
即:lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
设x'是f(x)的任一自变量
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx
g(-x')=lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx=lim[f(x'-Δx)-f(x')]/Δx
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
=lim[f(-x')-f(-x'+Δx)]/Δx
=-lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx
=-g(-x')
即:g(x')=-g(-x')
∵x'具有任一性
∴可导偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数.
可导奇函数也是同理
证明:设f(x)是可导偶函数,g(x)是f(x)的导函数
则f(-x)=f(x)
∵f(x)是可导函数
∴f(x)在x=x'处左右导数相等
即:lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
设x'是f(x)的任一自变量
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx
g(-x')=lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx=lim[f(x'-Δx)-f(x')]/Δx
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
=lim[f(-x')-f(-x'+Δx)]/Δx
=-lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx
=-g(-x')
即:g(x')=-g(-x')
∵x'具有任一性
∴可导偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数.
可导奇函数也是同理
设F(X)是可导的奇函数,证明它的导数是偶函数 为什么f(-x)=-f(x)就可以得到f'(-x)×(-x)'=-f'(
设函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,试问 (1)函数F(x)=f(x)+g(x)是奇函数还是偶函数?为什么?(
已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,有f(x)+g(x)=1/(x+1),求f(x)和g(x)的表达式
f(x)偶函数,g(x)奇函数 ,它们有相同的定义域 ,而且f(x)+g(x)=1/x-1,求f(x)与g(x)表达式
f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
若函数y=f(x)可导,证明在f(x)的两个相异零点间一定有f(x)+f'(x)的零点
f(x)是奇函数,且可导,若f'(x+3)=f'(x) f'(x)=-1 f'(5)+f'(11)=
已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则
怎样证明奇函数F(T+X)=F(T-X)的周期为4T,如为偶函数为什么为2T,最好有证明过程.
设f(x+a)为偶函数,则有f(x+a)=f(-x+a),为什么,还有为什么不是f(x-a)=f(-x-a)
奇函数与偶函数的问题请问:若f(x)是奇函数,则会有-f(x+1)=f(-x-1)吗?若f(x+1)是奇函数,则会有-f
f(x)可导,在(0,+∞)上有f(x)〉f'(x)ln(x^x),试比较f(2)与f(e)ln2的大小..