大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/22 18:25:00
大学微积分之复合函数,这个为什么解错了?
错解错在哪里?
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/6c/06ca4bc3a3eefa08c9549882b201f8f3.jpg)
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因为题目只给出g(x)在x=a处连续,并不保证g(x)在x=a处可导,所以错解中的g'(x)不一定存在
严格地说,"正确解法"也不完全对,因为g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道
必须分别求f(x)在x=a处的左导数和右导数,然后比较
例如设g(x)=|x-a|, g(x)在x=a处连续,但g(x)在x=a处不可导,所以g'(a)不存在
但f(x)=(x²-a²)g(x)=(x²-a²)|x-a|
则f(x)在x=a处的左导数
f'(a-)=lim(x→a-) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a-) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a-) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
f(x)在x=0处的右导数
f'(a+)=lim(x→a+) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a+) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a+) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
∴f'(a-)=f'(a+)=f'(a)=2a|x-a|=2ag(a)
再问: 刚学不大明白 老师 为什么“ g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道 ”?
再答: 把f(x)看作关于g(x)的函数,即令u=g(x), 则f(g(x))=f(u) 若u=g(x)在x=a处不可导,则f(u)在x=a处必不可导
再问: 明白了!非常感谢 那个莱布尼兹公式考试时要背过么 还是试卷中给出?
再答: 莱布尼兹公式不复杂啊,试卷中一般应该不会给出来吧
严格地说,"正确解法"也不完全对,因为g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道
必须分别求f(x)在x=a处的左导数和右导数,然后比较
例如设g(x)=|x-a|, g(x)在x=a处连续,但g(x)在x=a处不可导,所以g'(a)不存在
但f(x)=(x²-a²)g(x)=(x²-a²)|x-a|
则f(x)在x=a处的左导数
f'(a-)=lim(x→a-) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a-) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a-) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
f(x)在x=0处的右导数
f'(a+)=lim(x→a+) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a+) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a+) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
∴f'(a-)=f'(a+)=f'(a)=2a|x-a|=2ag(a)
再问: 刚学不大明白 老师 为什么“ g'(x)不一定存在,进而f'(a)是否存在也不知道 ”?
再答: 把f(x)看作关于g(x)的函数,即令u=g(x), 则f(g(x))=f(u) 若u=g(x)在x=a处不可导,则f(u)在x=a处必不可导
再问: 明白了!非常感谢 那个莱布尼兹公式考试时要背过么 还是试卷中给出?
再答: 莱布尼兹公式不复杂啊,试卷中一般应该不会给出来吧