初三数学(好的加100分)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 06:09:54
初三数学(好的加100分)
如图,在等边三角形ABC中,G、H分别为AB、AC边的中点,D为GH上任一点,BD、CD的延长线交AC、AB于E、F,求证1/EC+1/BF=3/BC
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/bd/ebd0a577c7eb30a31cc0eb8b387d3864.jpg)
如图,在等边三角形ABC中,G、H分别为AB、AC边的中点,D为GH上任一点,BD、CD的延长线交AC、AB于E、F,求证1/EC+1/BF=3/BC
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因为G、H分别为AB、AC边的中点
所以GH//BC且GH=BC/2
因为GH//BC
所以∠FGD=∠FBC,∠FDG=∠FCB(同位角相等)
所以△FGD相似于△FBC
则有GF/BF=GD/BC
由于GF=BF-BG=BF-AB/2=BF-BC/2
所以GD=BC*(BF-BC/2)/BF=BC*(1-BC/(2BF))
又因为GH//BC
所以∠EHD=∠ECB,∠EDH=∠EBC(同位角相等)
所以△EHD相似于△ECB
则有EH/EC=HD/BC
由于EH=EC-HC=EC-AC/2=EC-BC/2
所以HD=BC*(EC-BC/2)/EC=BC*(1-BC/(2EC))
又因为GH=BC/2=GD+HD=BC*(1-BC/(2BF))+BC*(1-BC/(2EC))
化简得1=2-BC/BF+2-BC/EC
BC/BF+BC/EC=3
1/EC+1/BF=3/BC
所以GH//BC且GH=BC/2
因为GH//BC
所以∠FGD=∠FBC,∠FDG=∠FCB(同位角相等)
所以△FGD相似于△FBC
则有GF/BF=GD/BC
由于GF=BF-BG=BF-AB/2=BF-BC/2
所以GD=BC*(BF-BC/2)/BF=BC*(1-BC/(2BF))
又因为GH//BC
所以∠EHD=∠ECB,∠EDH=∠EBC(同位角相等)
所以△EHD相似于△ECB
则有EH/EC=HD/BC
由于EH=EC-HC=EC-AC/2=EC-BC/2
所以HD=BC*(EC-BC/2)/EC=BC*(1-BC/(2EC))
又因为GH=BC/2=GD+HD=BC*(1-BC/(2BF))+BC*(1-BC/(2EC))
化简得1=2-BC/BF+2-BC/EC
BC/BF+BC/EC=3
1/EC+1/BF=3/BC
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