搜狗做题网求f(x)=2倍（根号x）+3倍（根号1-x）的最大值(利用不等式求解）
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/02 13:28:19
求f(x)=2倍（根号x）+3倍（根号1-x）的最大值(利用不等式求解）
依柯西不等式得：
[f(x)]^2＝[2√x+3√(1-x)]^2
≤(2^2+3^2)[x+(1-x)]
→f(x)≤√13,
∴√x/2＝√(1-x)/3,即x＝4/13时,
所求最大值为：f(x)|max＝√13.
再问： 还没学到柯西不等式呢，除了柯西不等式，还有其他方法吗？
再答： 设x＝(cosθ)^2,则
2√x+3√(1-x)
＝2cosθ+3sinθ
＝√13sin(θ+φ)
(其中tanφ＝2/3)
∵-1≤sin(θ+φ)≤1,
∴sin(θ+φ)＝1时，
所求最大值为: √13。
[f(x)]^2＝[2√x+3√(1-x)]^2
≤(2^2+3^2)[x+(1-x)]
→f(x)≤√13,
∴√x/2＝√(1-x)/3,即x＝4/13时,
所求最大值为：f(x)|max＝√13.
再问： 还没学到柯西不等式呢，除了柯西不等式，还有其他方法吗？
再答： 设x＝(cosθ)^2,则
2√x+3√(1-x)
＝2cosθ+3sinθ
＝√13sin(θ+φ)
(其中tanφ＝2/3)
∵-1≤sin(θ+φ)≤1,
∴sin(θ+φ)＝1时，
所求最大值为: √13。
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