搜狗做题网2011丰台期末
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/05 21:42:42
在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-√3y-4=0相切。 （1）求圆O的方程 （2）直线L ：y=kx+3与圆O交与A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线L的斜率；若不存在，说明理由。
解题思路： （Ⅰ）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可； （Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形．理由为： 法1：由直线l与圆O相交，得到圆心到直线l的距离d小于圆的半径r，利用关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，利用菱形的性质得到对角线OM与AB垂直且平分，可得出圆心O到直线l的距离d等于|OM|的一半，即为半径的一半，根据半径求出d的值，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范围中检验，满足条件，故存在点M，使得四边形OAMB为菱形； 法2：记OM与AB交于点C（x0，y0），由菱形的对角线互相垂直，根据直线l的斜率为k（k不为0），利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线OM的斜率，确定出直线OM的方程，将直线OM的方程与直线l方程联立组成方程组，求出方程组的解表示出x0与y0，确定出M的坐标，将M的坐标代入圆O的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k
解题过程：
见附件
最终答案：略
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最终答案：略