题目的积分上限是π下限是0
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 13:50:40
题目的积分上限是π下限是0
设f(a)=∫上限π下限是0 ln(1-2acosx+a^2)dx,证明(1)f(-a)=f(a);
(2)2f(a)=f(a^2).
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/18/118aca21380cefddff25f19206be2591.jpg)
设f(a)=∫上限π下限是0 ln(1-2acosx+a^2)dx,证明(1)f(-a)=f(a);
(2)2f(a)=f(a^2).
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![题目的积分上限是π下限是0](/uploads/image/z/19230905-65-5.jpg?t=%E9%A2%98%E7%9B%AE%E7%9A%84%E7%A7%AF%E5%88%86%E4%B8%8A%E9%99%90%E6%98%AF%CF%80%E4%B8%8B%E9%99%90%E6%98%AF0)
1-2acosx+a^2≥0恒成立
(1)令t=π-x
∫[0,π]ln(1-2acosx+a^2)dx=∫[0,π]ln(1+2acosx+a^2)dt
所以F(-a)=F(a)
(2)不好证,但可以通过求导转化
2F'(a)=2aF'(a^2)
被积函数对a求偏导
F'(a)=∫[0,π](2a-2cosx)/(1-2acosx+a^2)dx
=∫[0,π][1/a+(a^2-1)/a*1/(1-2acosx+a^2)]dx
万能公式代换tan(x/2)=t
=π/a+(a^2-1)/a*∫[0,+∞]2/(1+t^2)*1/[1-2a(1-t^2)/(1+t^2)+a^2]dt
=π/a+(a^2-1)/a*∫[0,+∞]2/[(a^2+1)t^2+(a-1)^2]dt
=π/a+1/a*(a^2-1)/|a^2-1|*2arctan(x*|a+1|/|a-1|)[0,+∞]
=π/a+1/a*(a^2-1)/|a^2-1|*π
1.a^2>1,原式2π/(a)
2.a=±1,原式±2π
3.0
(1)令t=π-x
∫[0,π]ln(1-2acosx+a^2)dx=∫[0,π]ln(1+2acosx+a^2)dt
所以F(-a)=F(a)
(2)不好证,但可以通过求导转化
2F'(a)=2aF'(a^2)
被积函数对a求偏导
F'(a)=∫[0,π](2a-2cosx)/(1-2acosx+a^2)dx
=∫[0,π][1/a+(a^2-1)/a*1/(1-2acosx+a^2)]dx
万能公式代换tan(x/2)=t
=π/a+(a^2-1)/a*∫[0,+∞]2/(1+t^2)*1/[1-2a(1-t^2)/(1+t^2)+a^2]dt
=π/a+(a^2-1)/a*∫[0,+∞]2/[(a^2+1)t^2+(a-1)^2]dt
=π/a+1/a*(a^2-1)/|a^2-1|*2arctan(x*|a+1|/|a-1|)[0,+∞]
=π/a+1/a*(a^2-1)/|a^2-1|*π
1.a^2>1,原式2π/(a)
2.a=±1,原式±2π
3.0
一道定积分题目 上限是x,下限是0
一道求定积分的题目!∫1/(1+sinx),(上限是π/4,下限是0)
cosx绝对值 上限是π下限是0 定积分等于上限π/2下限0 cosxdx-上限π下限π/2dsinx 为什么上限要变成
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sinx的7次方的定积分上限是0.5π 下限0 是多少 上限1.5π下限0.5π 又是多少
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关与变上限积分问题一道关与变上限积分的题目,lim(1/x)*∫cos(t^2)dt 上限是0,下限是sinx x趋向与
∫(e^(-x^2))dx上限是1,下限是0的积分是多少
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