（2006•上海）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/16 17:53:57

（2006•上海）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO．求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．

（1）证明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴
AO
PO＝
PO
BO=2．（2分）
∵PO=CO，（1分）
∴
AO
CO＝
CO
BO．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO．（1分）

（2）设OP=x，则OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，
∴x²=（x-1）（x+m）．（1分）
∴x=
m
m−1．
即OP=
m
m−1．（1分）
∴OB=
1
m−1．（1分）
∵OP是OA，OB的比例中项，即
OA
OP＝
OP
OB，
∵OP=OC，
∴
OA
OC＝
OC
OB．（1分）
设⊙O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
∴
AC
BC＝
OC
OB．（1分）
∴
AC
BC＝
OC
OB＝
OP
OB＝m．
当点C与点P或点Q重合时，可得
AC
BC＝m，
∴当点C在圆O上运动时，AC：BC=m．（1分）

（3）由（2）得，AC＞BC，且AC-BC=（m-1）BC（m＞1），AC+BC=（m+1）BC，
⊙B和⊙C的圆心距d=BC，
显然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置关系只可能相交、内切或内含．
当⊙B与⊙C相交时，（m-1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，
∵m＞1，
∴1＜m＜2；（1分）
当⊙B与⊙C内切时，（m-1）BC=BC，得m=2；（1分）
当⊙B与⊙C内含时，BC＜（m-1）BC，得m＞2．（1分）

如图,圆O的半径为1,点P是圆O上一点,弦AB垂直平分线段OP （2011?西城区二模）如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C．已知圆O半径为3，OP=2，则PC 已知AB为半圆O的直径,点P为AB上任意一点,以A为圆心AP为半径作圆A,圆A与半圆A相交于C,以点B为圆心BP为如图圆O的半径为1,点P是圆O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点（与端点A B不重合）,DE⊥AB于如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D （2014•株洲）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两（2007•昌平区一模）已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．（2008•株洲）如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．如图,圆o的直径AB等于6厘米,P是AB延长线上的一点,过P作圆o的切线,切点为c,连接AC,若点P在AB的延长线上运动如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,点E是BA延长线上的一点.以边AC上的点O为圆心、OA为半径的圆O与EC相切,D 如图,已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作如图,已知AB=10,点C、D在线段AB上且AC=DB=2,P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作