已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/16 23:43:33
已知f(x)的定义域为R,且当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)的值.
(2)证明:f(x)是奇函数.
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-
(1)求f(0)的值.
(2)证明:f(x)是奇函数.
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-
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(1)∵对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)+f(y).
∴令x=y=0得:f(0)=2f(0),得f(0)=0.
(2)∵f(x)的定义域为R,∴f(x)的定义域关于原点对称.
又令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x)是奇函数.
(3)设x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,
∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)是R上的减函数.
∵f(1)=-
1
2,∴f(−1)=
1
2,
∴f(-2)=2f(-1)=1,
∴不等式f(x2-2ax-1)≤1即是f(x2-2ax-1)≤f(-2),
∴x2-2ax-1≥-2即x2-2ax+1≥0对x∈[2,4]恒成立.
即a≤
x
2+
1
2x对x∈[2,4]恒成立.
令g(x)=
x
2+
1
2x,
则g′(x)=
1
2−
1
2x2=
x2−1
2x2>0在x∈[2,4]上恒成立,
因此g(x)在x∈[2,4]上单调递增,
∴g(x)min=g(2)=1+
1
4=
5
4.
∴a≤
5
4.
∴令x=y=0得:f(0)=2f(0),得f(0)=0.
(2)∵f(x)的定义域为R,∴f(x)的定义域关于原点对称.
又令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x)是奇函数.
(3)设x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,
∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x)是R上的减函数.
∵f(1)=-
1
2,∴f(−1)=
1
2,
∴f(-2)=2f(-1)=1,
∴不等式f(x2-2ax-1)≤1即是f(x2-2ax-1)≤f(-2),
∴x2-2ax-1≥-2即x2-2ax+1≥0对x∈[2,4]恒成立.
即a≤
x
2+
1
2x对x∈[2,4]恒成立.
令g(x)=
x
2+
1
2x,
则g′(x)=
1
2−
1
2x2=
x2−1
2x2>0在x∈[2,4]上恒成立,
因此g(x)在x∈[2,4]上单调递增,
∴g(x)min=g(2)=1+
1
4=
5
4.
∴a≤
5
4.
设函数y=f(x)定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)·f(y)成立
设函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)*f(y)
已知奇函数y=f(x)的定义域为R 且f(x+4)=f(x) 恒成立.当x∈(4,6)时,
已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<
已知函数y=f(x)的定义域为R,且当X∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证Y=F(X)的图像关于直线x=m对
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x>0都有f(x)<0
已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(x)不恒为0,且对任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)求
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)
已知定义域为R+,值域为R的函数f(x),对于任意x,y属于R+总有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1,恒有f(x
(2012•黄浦区二模)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且对x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x).又当x∈[
证明函数F(x)增减性.函数F(x)的定义域为R,对任意x,y恒有F(x+y)=F(x)+F(y)成立,当x>0时F(x