已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,左准线方程为x=-4.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/18 07:32:32
已知椭圆
M:x
(1)∵椭圆M: x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 1 2,左准线方程为x=-4, ∴
c a= 1 2
a2 c=4,∴a=2,c=1, ∴b= a2−c2= 3, ∴椭圆M的标准方程为 x2 4+ y2 3=1; (2)①证明:设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 则两切线方程为 x1x 4+ y1y 3=1, x2x 4+ y2y 3=1, 可得交点P的纵坐标为y= 3(x2−x1) x2y1−x1y2= 3(my2−my1) (my2+1)y1−(my1+1)y2=-3m, 上式作差可得 mx 4+ y 3=0, y=-3m代入,可得x=-4, ∴l1,l2的交点P在一条定直线x=-4上; ②P(4,-3m)到直线AB的距离d= |−3m2−4+1|
1+m2, 直线AB:x=my+1,代入 x2 4+ y2 3=1,可得(3m2+4)y2+6my-9=0, ∴y1+y2=- 6m 3m2+4,y1y2= 9 3m2+4, ∴|AB|= 1+m2•|y1-y2|= 12(m2+1) 3m2+4 ∴△ABP面积为S= 1 2|AB|d= 18( m2+1)3 3(m2+1)+1, 设t= m2+1≥1,则S= 18t3 3t2+1= 18
3 t+ 1 t3, 令u= 1 t∈(0,1],则S= 18 3u+u3,在u∈(0,1]上单调递减, ∴当u=1,则t=1,即m=0时,△ABP面积的最小值为 9 2.
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