与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/11 15:00:20

与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1
椭圆球面上三个点A（x1,y1,z1）B（x2,y2,z2）C（x3,y3,z3）,已知这三个点处的切平面相互垂直,证明

刚好是那个证明中的后半部分, 连符号都一样.
看来咱们思路差不多吧.
由(x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃)是曲面上三点, 即有:
ax₁²+by₁²+cz₁² = 1 ①, ax₂²+by₂²+cz₂² = 1 ②, ax₃²+by₃²+cz₃² = 1 ③.
可算得三点处的切平面法向量分别为:
α = (ax₁,by₁,cz₁), β = (ax₂,by₂,cz₂), γ = (ax₃,by₃,cz₃).
三个切平面互相垂直, 即它们的法向量互相正交, 有: α·β = β·γ = γ·α = 0.
α, β, γ构成R³的一组正交基, 于是对任意向量η成立恒等式:
η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² .
分别在上式中取η = (1/a,0,0), (0,1/b,0), (0,0,1/c)得:
1/a² = x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ², 1/b² = y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ², 1/c² = z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ².
于是1/a+1/b+1/c = a(x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ²)+b(y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²)+c(z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ²)
= (ax₁²+by₁²+cz₁²)/α²+(ax₂²+by₂²+cz₂²)/β²+(ax₃²+by₃²+cz₃²)/γ²
= 1/α²+1/β²+1/γ² (将①, ②, ③代入)
= 1/(a²x₁²+b²y₁²+c²z₁²)+1/(a²x₂²+b²y₂²+c²z₂²)+1/(a²x₃²+b²y₃²+c²z₃²).
即所求证.
再问：嗯，原以为这条题目可能会先被解决的……
还是谢谢你
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与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1,证明求平面方程：过点（1,2,-1）和Y轴.求平面Ax+By+Cz+D1=0,Ax+By+Cz+D2=0的距离. 椭球面方程?椭圆绕轴一周构成的椭球数学方程? 已知X=2 Y=3 Z=1是方程组 ax+by+cz=4,ax-by-cz=4 ax-by+cz=10的解,求abc的值求平面x=2与椭球面x^2／16+y^2／12+z^2／4=1相交所得椭圆的半轴与顶点一道三元一次的方程题如果关于x、y、z的方程组ax-by-2z=13,ax+2y+cz= -2,cx-4y+bz=28的线面垂直的判定线的向量为（l,m,n）面方程 ax+by+cz=d 满足什么关系是垂直? 高中椭圆的求方程的题椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y-1=0相交与A,B两点,C是A,B中点,若AB=2√2,OC 直线与平面的夹角公式空间中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 ,法向量n=(A,B,C) 直线方程为(x-x0)/m= 如果方程ax+by+cz=k对一切xyz都成立,求abck的值. 空间几何:::方程Ax+By+Cz=0表示的一定都是平面吗? 旋转椭球面x^2+y^2+4z^2=9被平面x+2y+5z=0截得椭圆,求该椭圆的长半轴与短半轴