设a.b,c,d∈N,证明(a的(4b+d)次方)减去（a的（4c+d）次方）能被240整除

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 15:51:48

设a.b,c,d∈N,证明(a的(4b+d)次方)减去（a的（4c+d）次方）能被240整除
a4b+d-a4c+d

240=3*5*16,3,5,16两两互质.
只要证明
A=a^(4b+d)-a^(4c+d)分别被3,5,16整除即可.
如果你知道费马小定理那就很容易了.否则需要用带余数除法慢慢整.怕你不知道费马小定理,就慢慢来吧.
预备知识：
1.3不整除x,那么3整除x^2-1,或者说x^2除以3余1.
这是因为x^2-1=(x-1)(x+1),x除以3的余数是1的话,x-1是3的倍数,x除以3的余数是2的话,x+1是3的倍数,总之,x^2-1是3的倍数.
2.5不整除x,那么5整除x^4-1,或者说x^4除以5余1.
这是因为
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2-4+5)
=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)+5(x^2-1)
无论x除以5余1,2,3,4上式都是5的倍数.
3.偶数的4次方是16的倍数,奇数的平方被8除余1,奇数的4次方被16除余1.
第一句话显然正确,第三句话可由第二句推出.
只证明：奇数的平方被8除余1.
因为(2k+1)^2=4k(k+1)+1,k和k+1一定有一个偶数,所以4k(k+1)是8的倍数.
有了这些准备,就很容易了.
看式子 A=a^(4b+d)-a^(4c+d)=a^d[(a^b)^4-(a^c)^4]
=a^d[(a^4)^b-(a^4)^c]
如果a是2,3,5的倍数,显然A就是16,3,5的倍数.下面设a不是2,3,5的倍数.
3不整除a,根据预备知识1（a^b)^4和(a^c)^4除以3都余1,二者之差就是3的倍数.5不整除a,(a^b)^4和(a^c)^4除以5都余1,二者之差是5的倍数.2不整除a,
(a^b)^4和(a^c)^4除以16都余1,二者之差是16的倍数.
证毕.

已知;A,B,C,D是自然数.A的6次方等于B的4次方,C的3次方等于D的2次方,A减去C等于19.求D减去B等于多少设a,b,c,d都是自然数,且a的5次方=b的4次方,c的3次方=d的2次方,c减a=19,d-b是多少（-8）的2008次方+（-8）的2007次方能被下列数整除的是（）A、3 B、5 C、7 D、（-8）的2007次方+（-8）的2006次方能被下列数整除的是（）A.3 B.7 C.5 D.9 (-8)的 2008次方+（-8）的2007次方能被下列数整除的是：A、3 B、5 C、7 D、9 设a,b,c,d为正数,求证(a+c/a+b)+（b+d/b+c）+（c+a/c+d)+(d+b/d+a)≥4 这是第11届希望杯的试题：1）.设a,b,c,d为正整数,且a的7次方等于b的6次方,c的3次方等于d的2次方,c-a= 下列数能整除（-8）的2008次方+（-8）的2005次方,的是（）A.3 B.5 C.7 D.9 设abcd都是正整数并且a的五次方=b的4次方 c³=d² c-a=19求d-b的值已知a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd,且a.b.c.d均为正数,试判断以a,b,c,d为边的四已知:2的a次方*3的b 次方*37的c次方*47的d次方=2008,其中a,b,c,d为自然数,求(a-b-c＋d）的设A,B,C,D是任意的集合.证明（A交B）×（C交D）=（A×C）交（B×D）