设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 06:53:16
设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b
若对任意a∈【-2,2】,不等式f(x)≤1在【-1,1】上恒成立,求b的范围.
若对任意a∈【-2,2】,不等式f(x)≤1在【-1,1】上恒成立,求b的范围.
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题意要求,若对任意a∈【-2,2】等式f(x)≤1【-1,1】上恒成立
(1)当-1≤x<0时,f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=-2时,比a∈(-2,2]时都要大,所以有x^4-2x^3+2x^2+b≤1,
令P(x)=x^4-2x^3+2x^2+b,P’(x)=4x³-6x²+4x<0恒成立,所以P(x)单调递减,
P(x)max=P(-1)≤1,得b≤-4
(2)当0≤x≤1时,f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=2时,比a∈[-2,2)时都要大,所以有x^4+2x^3+2x^2+b≤1,
令Q(x)=x^4+2x^3+2x^2+b,Q’(x)=4x³+6x²+4x<0恒成立,所以Q(x)单调递减,
Q(x)max=P(1)≤1,得b≤-4
综上,b≤-4
(1)当-1≤x<0时,f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=-2时,比a∈(-2,2]时都要大,所以有x^4-2x^3+2x^2+b≤1,
令P(x)=x^4-2x^3+2x^2+b,P’(x)=4x³-6x²+4x<0恒成立,所以P(x)单调递减,
P(x)max=P(-1)≤1,得b≤-4
(2)当0≤x≤1时,f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b,
显然得,对于任意的x,当a=2时,比a∈[-2,2)时都要大,所以有x^4+2x^3+2x^2+b≤1,
令Q(x)=x^4+2x^3+2x^2+b,Q’(x)=4x³+6x²+4x<0恒成立,所以Q(x)单调递减,
Q(x)max=P(1)≤1,得b≤-4
综上,b≤-4
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