概率题. 一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问...
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 18:06:39
概率题. 一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问...
一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问青蛙跳完后有多大的概率离它的出发点不超过一米?
答案选项有 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2
当然不止8个方向。。。任何方向,360度可以分成无数个方向。。。
一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问青蛙跳完后有多大的概率离它的出发点不超过一米?
答案选项有 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2
当然不止8个方向。。。任何方向,360度可以分成无数个方向。。。
![概率题. 一只青蛙跳3次,每次正好跳一米,每次方向都完全随机.问...](/uploads/image/z/18809437-13-7.jpg?t=%E6%A6%82%E7%8E%87%E9%A2%98.+%E4%B8%80%E5%8F%AA%E9%9D%92%E8%9B%99%E8%B7%B33%E6%AC%A1%2C%E6%AF%8F%E6%AC%A1%E6%AD%A3%E5%A5%BD%E8%B7%B3%E4%B8%80%E7%B1%B3%2C%E6%AF%8F%E6%AC%A1%E6%96%B9%E5%90%91%E9%83%BD%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%9A%8F%E6%9C%BA.%E9%97%AE...)
1/4
这是一个几何概型.
由于第一次跳所有方向完全对称,所以对于任何方向求得的概率应该相同,因此不必考虑第一步,只需考虑第二、三步.
以出发点为原点,出发点到第一步所达点的向量作为x轴单位向量建立平面直角坐标系,则第一步所达点的坐标为(1,0).
设第二步向由x轴逆时针旋转x弧度(0≤x<2π)的方向跳出,第三步向x轴逆时针旋转y弧度(0≤y<2π)的方向跳出,则第二步所达点的坐标为(1+cos x,sin x),第三步所达点的坐标为(1+cos x+cos y,sin x+sin y)
要使青蛙跳完后离它的出发点不超过一米,应有(1+cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1,即(以下是化简过程):
1+2(cos x+cos y)+(cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1
1+2(cos x+cos y)+2(cos xcos y+sin xsin y)+2≤1
cos x+cos y+cos(x-y)+1≤0
2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+2cos²[(x-y)/2]≤0
2cos[(x-y)/2](cos[(x+y)/2]+cos[(x-y)/2])≤0
cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0
因为0≤x<2π,0≤y<2π,所以0≤x/2,y/2<π,-π≤(x-y)/2<π
于是……(以下的化简过程应该比较简单了,但是电脑上打出来有点累,就从略了)最后由x,y的不等关系在平面直角坐标系(这是另一个坐标系,不是先前建立的那个)中得到的区域的面积为π²,而全集{(x,y)|0≤x<2π,0≤y<2π},面积为4π²
所以概率p=1/4
这是一个几何概型.
由于第一次跳所有方向完全对称,所以对于任何方向求得的概率应该相同,因此不必考虑第一步,只需考虑第二、三步.
以出发点为原点,出发点到第一步所达点的向量作为x轴单位向量建立平面直角坐标系,则第一步所达点的坐标为(1,0).
设第二步向由x轴逆时针旋转x弧度(0≤x<2π)的方向跳出,第三步向x轴逆时针旋转y弧度(0≤y<2π)的方向跳出,则第二步所达点的坐标为(1+cos x,sin x),第三步所达点的坐标为(1+cos x+cos y,sin x+sin y)
要使青蛙跳完后离它的出发点不超过一米,应有(1+cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1,即(以下是化简过程):
1+2(cos x+cos y)+(cos x+cos y)²+(sin x+sin y)²≤1
1+2(cos x+cos y)+2(cos xcos y+sin xsin y)+2≤1
cos x+cos y+cos(x-y)+1≤0
2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+2cos²[(x-y)/2]≤0
2cos[(x-y)/2](cos[(x+y)/2]+cos[(x-y)/2])≤0
cos[(x-y)/2]cos(x/2)cos(y/2)≤0
因为0≤x<2π,0≤y<2π,所以0≤x/2,y/2<π,-π≤(x-y)/2<π
于是……(以下的化简过程应该比较简单了,但是电脑上打出来有点累,就从略了)最后由x,y的不等关系在平面直角坐标系(这是另一个坐标系,不是先前建立的那个)中得到的区域的面积为π²,而全集{(x,y)|0≤x<2π,0≤y<2π},面积为4π²
所以概率p=1/4
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