已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R),且同时满足:①f(-1)=0;②对任意的实数x恒有x≤f(x)
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/22 22:06:09
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R),且同时满足:①f(-1)=0;②对任意的实数x恒有x≤f(x)≤(
x+1 |
2 |
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(1)当 (
x+1
2) 2 =x,即 x=1时,则由②可得 1≤f(1)≤1,∴f(1)=1.
(2)由f(1)=1且f(-1)=0可得:
a+b+c=1
a−b+c=0,∴a+c=b=
1
2.
∵对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,∴ax2+(b-1)x+c≥0(a≠0),对于一切实数x恒成立,
∴
a>0
△=(b−1)2−4ac≤0,即
a>0
ac≥
1
16.
∵a+c=
1
2,且a+c≥2
ac=2×
1
16=
1
2,∴当且只有当a=c=
1
4时,不等式成立.
∴f(x)=
1
4x2+
1
2x+
1
4.
(3)∵当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx=
1
4x2+(
1
2-m)x+
1
4 是单调函数,
它的对称轴为x=
m−
1
2
1
2=2m-1,故有 2m-1≥1,或2m-1≤-1.
解得 m≥1,或 m≤0,故m的取值范围为[1,+∞)∪(-∞,0].
x+1
2) 2 =x,即 x=1时,则由②可得 1≤f(1)≤1,∴f(1)=1.
(2)由f(1)=1且f(-1)=0可得:
a+b+c=1
a−b+c=0,∴a+c=b=
1
2.
∵对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,∴ax2+(b-1)x+c≥0(a≠0),对于一切实数x恒成立,
∴
a>0
△=(b−1)2−4ac≤0,即
a>0
ac≥
1
16.
∵a+c=
1
2,且a+c≥2
ac=2×
1
16=
1
2,∴当且只有当a=c=
1
4时,不等式成立.
∴f(x)=
1
4x2+
1
2x+
1
4.
(3)∵当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx=
1
4x2+(
1
2-m)x+
1
4 是单调函数,
它的对称轴为x=
m−
1
2
1
2=2m-1,故有 2m-1≥1,或2m-1≤-1.
解得 m≥1,或 m≤0,故m的取值范围为[1,+∞)∪(-∞,0].
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