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怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约?

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 11:03:10
怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约?
高等代数的牛顿有理根定理类似
怎么证明有理系数多项式f（x）不可约的充要条件是f(ax+b)不可约?
条件应该有a,b都是有理数且a ≠ 0.
证明其实不难.
充分性可表述为:若f(x)可约,则f(ax+b)可约.
由f(x)可约,可设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)是次数不小于1的有理系数多项式.
于是f(ax+b) = g(ax+b)h(ax+b).
而a,b都是有理数且a ≠ 0,故g(ax+b),h(ax+b)也是次数不小于1的有理系数多项式.
故f(ax+b)可约.
必要性可表述为:若f(ax+b)可约,则f(x)可约.
设F(x) = f(ax+b),c = 1/a,d = -b/a,有a(cx+d)+b = x.
于是F(cx+d) = f(a(cx+d)+b) = f(x).
而在充分性部分已证:若F(x)可约,则F(cx+d)可约.
即若f(ax+b)可约,则f(x)可约.
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