一元3次方程求根公式
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/20 04:22:56
一元3次方程求根公式
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3次方程求根公式是著名的卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A(1/3),x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式.
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得:
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根.
解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A(1/3)或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B(1/3)或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组
u1= A(1/3),v1= B(1/3)
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即
x1=u1+v1= A(1/3)+B(1/3)
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式.你直接套用就可以求解了.
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式.
当△>=0时,有一个实根和两个共轭复根;
当△
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A(1/3),x2=A^(1/3)*ω,x3= A^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式.再令x=y-a/3,代入可消去次高项,变成x^3+px+q=0的形式.
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解,代入整理得:
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立,由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的两个根.
解之得,y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则u^3=A,v^3=B
u= A(1/3)或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2
v= B(1/3)或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2
但是考虑到uv=-p/3,所以u、v只有三组
u1= A(1/3),v1= B(1/3)
u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2
u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω
那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了,即
x1=u1+v1= A(1/3)+B(1/3)
x2= A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2
x3= A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω
这正是著名的卡尔丹公式.你直接套用就可以求解了.
△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式.
当△>=0时,有一个实根和两个共轭复根;
当△