设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/15 04:02:07
设A和B都是m*n实矩阵,满足r(A+B)=n,证明A^TA+B^TB正定
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证明:显然A^TA+B^TB是对称矩阵.
设D=[A;B],即D为上下两块的分块矩阵,是2m*n实矩阵
则A,B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以A+B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以 r(A+B)=0,且等号成立的充要条件是Ax=0
x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>=0,且等号成立的充要条件是Bx=0
综上有:对任一n维非零列向量x
x^T(A^TA+B^TB)x = (Ax)^T(Ax)+(Bx)^T(Bx) >0.
所以 A^TA+B^TB正定.
设D=[A;B],即D为上下两块的分块矩阵,是2m*n实矩阵
则A,B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以A+B的行向量都可由D的行向量线性表示
所以 r(A+B)=0,且等号成立的充要条件是Ax=0
x^T(B^TB)x=(Bx)^T(Bx)>=0,且等号成立的充要条件是Bx=0
综上有:对任一n维非零列向量x
x^T(A^TA+B^TB)x = (Ax)^T(Ax)+(Bx)^T(Bx) >0.
所以 A^TA+B^TB正定.
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R(B)=n,证明B'AB也是正定矩阵
设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明:det(A+B)>det(A)
设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明:B^tAB为正定阵的充要条件为R(B)=n
设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n
设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵
设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.
设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵
设A和B是n阶正定矩阵,证明:A合同于B
设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B)
设A为m*n实矩阵,A^TA为正定矩阵,证明:线性方程组AX=0只有零解.
设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|>|B|