如何用正则性公理证明一个集合不能将其自身作为元素
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/13 04:47:01
如何用正则性公理证明一个集合不能将其自身作为元素
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正则公理在一阶逻辑中可叙述如下:
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/d1/5d1eedf9439ef9a7df1efb62097a45df.jpg)
翻译为较容易理解的说法就是:
所有非空集合 A 中至少有一个这样的元素 x ,它与A 本身的交集为空.即
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/57/95709ee4f66da8f4fca913b9f307b74e.jpg)
从这个公理就可以得出“不存在以自身为元素的集合”,即你说的“一个集合不能将其自身作为元素"
详细证明一下:
反设 A 是一个集合,使得 A 是自身的一个元素,即:
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/4f/24ff1baeaacb73d8eb5699d63a658d1a.jpg)
这时,根据配对公理,可以构造出 B = {A},它也是一个集合.由于B中只有一个元素A,根据正则公理,我们得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/05/a055a593865665e4b7c98aab63fb03c3.jpg)
但是根据我们的假定有
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/a0/aa082340c3ff0dcbad1d142a009755e0.jpg)
及
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/04/8042829cc9a37f1a28f5a5ed1b8a5f94.jpg)
所以.这与正则公理相矛盾!
于是这样的A不是集合.
要是还不懂的话,看看这个
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/d1/5d1eedf9439ef9a7df1efb62097a45df.jpg)
翻译为较容易理解的说法就是:
所有非空集合 A 中至少有一个这样的元素 x ,它与A 本身的交集为空.即
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/57/95709ee4f66da8f4fca913b9f307b74e.jpg)
从这个公理就可以得出“不存在以自身为元素的集合”,即你说的“一个集合不能将其自身作为元素"
详细证明一下:
反设 A 是一个集合,使得 A 是自身的一个元素,即:
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/4f/24ff1baeaacb73d8eb5699d63a658d1a.jpg)
这时,根据配对公理,可以构造出 B = {A},它也是一个集合.由于B中只有一个元素A,根据正则公理,我们得到:
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/05/a055a593865665e4b7c98aab63fb03c3.jpg)
但是根据我们的假定有
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/a0/aa082340c3ff0dcbad1d142a009755e0.jpg)
及
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/04/8042829cc9a37f1a28f5a5ed1b8a5f94.jpg)
所以.这与正则公理相矛盾!
于是这样的A不是集合.
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