如何证明一个集合A的闭包的闭包仍然是集合A的闭包
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/13 00:16:38
如何证明一个集合A的闭包的闭包仍然是集合A的闭包
设A的闭包是B,A的闭包的闭包是C.用反证法,如果命题不成立,则B的某一个内点或聚点不是A的内点或聚点.显然,B的每个元素都在A的闭包里.所以只要证B的每个聚点都在A的闭包里.假设B的某个聚点P不在A的闭包里,则P是A的外点.所以P的某个邻域U与A的交集是空集.而U内必定有B的元素.设Q为U与B的交集的某个元素.在Q的某个邻域内没有A的元素,即Q是A的外点.但既然Q是B的元素,则Q必定是A的内点或聚点.所以矛盾.原命题成立.
再问: 设Q为U与B的交集的某个元素。在Q的某个邻域内没有A的元素,这句是为什么呢,麻烦指点一下,嘿嘿,谢谢
再答: Q在U里面,而U与A是不相交的。我们一定能找到Q的一个邻域V,这个邻域是U的子集。由于U与A交集是空集,所以V∩A也是空集,所以在Q的某个邻域内没有A的元素。
再问: 设Q为U与B的交集的某个元素。在Q的某个邻域内没有A的元素,这句是为什么呢,麻烦指点一下,嘿嘿,谢谢
再答: Q在U里面,而U与A是不相交的。我们一定能找到Q的一个邻域V,这个邻域是U的子集。由于U与A交集是空集,所以V∩A也是空集,所以在Q的某个邻域内没有A的元素。
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